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No.33763 - 2015/10/24(Sat) 13:23:41
| ☆ Re: / IT | | | X[k]^2を3で割った余りが0となる確率は1/3(=aとおく),1となる確率は2/3(=bとおく)
X[1]^2+X[2]^2+...+X[n]が3の倍数となる確率をP(n)とおくと
P(n)=C(n,0)(a^n)(b^0)+C(n,3){a^(n-3)}b^3+...+C(n,3m){a^(n-3m)}b^(3m)+....
# 少し技巧的かも知れませんが#
1の3乗根のうち1でないものをとる。
v=(-1+√3i)/2,w=(-1-√3i)/2とおくと v^3=w^3=1,v+w+1=0,w^2=v,v^2=wなどの性質があります。
一般に
(x+y)^n+(x+yv)^n+(x+yw)^n=3{C(n,0)(x^n)(y^0)+C(n,3){x^(n-3)}y^3+...+C(n,3m){x^(n-3m)}y^(3m)+....}
x=a,y=bとおくと
3P(n)=(a+b)^n+(a+bv)^n+(a+bw)^n=1+{(1/3)+(2/3)(-1+√3i)/2}^n+{(1/3)+(2/3)(-1-√3i)/2}^n
=1+(i/√3)^n+(-i/√3)^n
よって、P(n)={1+(i/√3)^n+(-i/√3)^n}/3
# ここまででもいいような気もしますが、nの偶奇で分けるとiは消せます。#
自然数mについて、P(2m-1)=1/3、P(2m)=(1/3){1+2(-1/3)^m}
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No.33764 - 2015/10/24(Sat) 21:47:40 |
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