授業で当てられて、次の授業でみんなのまえで解かなければならないのですが、わかりません。解説お願いします。
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No.33813 - 2015/10/27(Tue) 23:40:22
| ☆ Re: 大学受験数学です。 / IT | | | x=p+qで,p≧0,q≧0よりx≧0,またr≧0,p+q+r≦1よりx≦1
すなわち0≦x≦1,同様に0≦y≦1（必要条件）
q,rをx,yで表す
q=x-p=x-{xy+k√(x(1-x))√(y(1-y))}≧0
r=y-p=y-{xy+k√(x(1-x))√(y(1-y))}≧0
移項して
x(1-y)≧k√(x(1-x))√(y(1-y))…?@
y(1-x)≧k√(x(1-x))√(y(1-y))…?A
p+q+r=x+y-p=x+y-xy-k√(x(1-x))√(y(1-y))≦1
x+y-xy-1≦k√(x(1-x))√(y(1-y))
(1-x)(1-y)≦k√(x(1-x))√(y(1-y))…?B
(1) k=1のとき
不等式?@?Aは両辺0以上で、左辺同士の積＝x(1-x)y(1-y)＝右辺同士の積
よって x(1-y)＝√(x(1-x))√(y(1-y))＝y(1-x)
したがって x＝y （必要条件）
逆にx＝yかつ0≦x≦1のとき
p＝xy+√(x(1-x))√(y(1-y))＝x^2+x(1-x)＝x≧0
q=x-p=0≧0,r=y-p=0≧0,p+q+r＝x≦1
よって,求める領域は（x＝yかつ0≦x≦1）
(2) k=1/2のとき
x(1-y)≧(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?@
y(1-x)≧(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?A
(1-x)(1-y)≦(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?B
x=0またはx=1またはy=0またはy=1のとき、
?@?Aともに成立．
?Bが成立するのはx=1またはy=1のとき
0＜x＜1かつ0＜y＜1のとき
?@?A?Bの両辺は正
?@の両辺を2乗すると
(x^2)(1-y)^2≧(1/4)x(1-x)y(1-y)
x(1-y)＞0なので、x(1-y)≧(1/4)(1-x)y
展開・移項し整理 x-xy≧(1/4)y-(1/4)xy
4x≧(3x+1)y
同様に?Aより、 4y≧(3y+1)x
?Bの両辺を２乗すると
((1-x)(1-y))^2≦(1/4)x(1-x)y(1-y)
(1-x)(1-y)＞0なので、(1-x)(1-y)≦(1/4)xy
よって求める領域は
(x=１かつ0≦y≦1)と(y=1かつ0≦x≦1)と
（0＜x＜1かつ0＜y＜1かつ4x≧(3x+1)yかつ4y≧(3y+1)xかつ(1-x)(1-y)≦(1/4)xy）
式は適当に変形してください。
(3) k=-1/2のとき
x(1-y)≧-(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?@
y(1-x)≧-(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?A
(1-x)(1-y)≦-(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?B
0≦x≦1かつ0≦y≦1で
?@?Aは成立
?Bが成立するのは両辺＝0のとき、すなわちx=1またはy=1のとき
よって求める領域は(x=１かつ0≦y≦1)と(y=1かつ0≦x≦1)
答案は、必要十分条件の確認などもう少し明示する必要があるかも。
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No.33816 - 2015/10/28(Wed) 01:26:41 |
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