この整数問題がわかりません…
解説付きで答えを教えていただけると嬉しいです。
![]() |
No.33915 - 2015/10/31(Sat) 21:22:01
| ☆ Re: 整数論 / ヨッシー  | | | a が奇数とすると a^3 は奇数、2b^3, 4c^3, 2abc は偶数であるので、
a^3＋2b^3＋4c^3＝2abc ・・・(i)
の左辺は奇数、右辺は偶数となり等式が成り立たない。
よって、a は偶数であることがわかり、a＝2a[1] (a[1] は整数) とおきます。
(i) に代入して、
8a[1]^3＋2b^3＋4c^3＝4a[1]bc
4a[1]^3＋b^3＋2c^3＝2a[1]bc ・・・(ii)
同様に b が偶数であることがわかり、b＝2b[1] とおきます。
(ii) に代入して、整理すると
2a[1]^3＋4b[1]^3＋c^3＝2a[1]b[1]c ・・・(iii)
同様に c が偶数であることがわかる ・・・(1) の答え
c＝c[1] とおいて(iii) に代入して、整理すると
a[1]^3＋2b[1]^3＋4c[1]^3＝2a[1]b[1]c[1]
同様に a[1], b[1], c[1] は偶数であることがわかり、
a[1]=2a[2], b[1]=2b[2], c[1]=2c[2] とおくと、
a[2]^3＋2b[2]^3＋4c[2]^3＝2a[2]b[2]c[2]
以下、a[n]＝2a[n+1] とおいていくと、任意の自然数ｎについて、
a[n], b[n], c[n]
は偶数となります。
一方、a,b,c のいずれかが０以外の偶数であるとき、その素因数に含まれる
２の数は有限個であり、その個数をｒ（ｒは０以上の整数）とすると、
a[r], b[r], c[r]
のいずれかが奇数となり、矛盾します。
よって、ａ＝ｂ＝ｃ＝０ であるとわかります。 ・・・(2) の答え
|
No.33920 - 2015/10/31(Sat) 22:55:18 |
|
