[ 掲示板に戻る ]
記事No.34041に関するスレッドです
★ (No Subject) / か
お願いします。
No.34041 - 2015/11/05(Thu) 19:47:32
☆ Re: / X
f[1]=x^2-1 (A)
f[n+1](x)=3∫[0→x]f[n](t)dt-(x-1)f[n](x) (B)
とします。
(B)によりf[2](x)を計算することにより
f[n](x)が二次式
であることが類推できます。そこで
数学的帰納法によりf[n](x)が二次式である
ことを証明します。
(i)n=1のときは(A)より明らか。
(ii)n=kのとき命題の成立を仮定します。
つまり
f[k](x)=ax^2+bx+c (a,b,cは定数、a≠0)
このとき(B)によりf[k+1](x)を計算すると
これも二次式(実際に計算してください)なので
n=k+1のときも命題は成立。

ということで
f[n](x)=a[n]x^2+b[n]x+c[n]
と置いて(B)に代入し、両辺の係数比較により
a[n],b[n],c[n]についての漸化式を導きます。
No.34046 - 2015/11/05(Thu) 21:24:08