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記事No.34075に関するスレッドです
★ 部分分数分解 / tdj48
不定積分の問題を解いてると、丸１のような問題がありました。丸１ダッシュのように、色々と試みてみましたが、うまいこと、「ABC」の値が決まりません。そこで回答を読んでみると、丸２のような、部分分数分解をしていました。その後、色々とパソコンで部分分数分解について調べていると、丸３のような部分分数分解をすることが、公式であるかのようにどのサイトでも乗っていました。(そのほか、この展開をヘビサイド展開、一般的にローラン展開ということなども発見しました)しかし、なぜ丸３のように展開すると、うまいこと行くのか、また、丸３の二番目の項の分子は「Bｘ＋C」でなくていいのか（つまり、分母が二次なので、分子は一次でもいいのでは）、そもそもなぜ、分母の次数より分子の次数のほうが、小さくないといけないかという３つの疑問が出てきました。皆さんのご意見をお聞かせください（複数人希望）

よろしくお願いいたします。（高三）
No.34075 - 2015/11/06(Fri) 23:28:55
☆ Re: 部分分数分解 / ヨッシー
丸１ダッシュの方法がうまくいかない理由
　左の式は、通分すると分子は２次式になるので、
　x^2 の項、x の項、定数項の３つの項の係数を決めないといけませんが
　文字が２つしかないので、制御しきれないためです。
　右の式は通分して分母がx(x+1)^2 になりません。
同じ理由で丸２は、項が３つ、変数が３つなのでうまくいきます。

(Bx+C)/(ax+b)^2 でなくて良い理由
　上と同じ言い方をすれば、項が３つなのに変数が４つあると解が一意に決まらないからです。
　ある解
　　A/(ax+b)＋(Bx+C)/(ax+b)^2＋D/(cx+d)
　が見つかったとして、Ａを A＝E+F を満たす２つの数Ｅ，Ｆに分けて
　　(E+F)/(ax+b)＋(Bx+C)/(ax+b)^2＋D/(cx+d)
　　＝E/(ax+b)＋F(ax+b)/(ax+b)^2＋(Bx+C)/(ax+b)^2＋D/(cx+d)
　　＝E/(ax+b)＋{(aF+B)x＋(bF+C)}/(ax+b)^2＋D/(cx+d)
　という別の解が無限に出来てしまいます。逆に、
　　(Bx+C)/(ax+b)^2＝(B/a)/(ax+b)＋G/(ax+b)^2
　という変形をして、(B/a)/(ax+b) を、A/(ax+b) とまとめれば、
　丸３の式の形になります。

分母の次数＞分子の次数の理由
　通分した結果、元の式の分子の次数を超えないためです。
　もし、丸１で、(Ax^3+Bx^2+Cx+D)/(x+1)^2 のような項を設定して計算しても、
　ＡやＢは０になることでしょう。
No.34078 - 2015/11/07(Sat) 07:07:46
☆ Re: 部分分数分解 / tdj48
わかりやすいご説明、長文にわたりありがとうございました。

おかげさまで、しっかり納得することができました。これからもよろしくお願いします。
No.34092 - 2015/11/07(Sat) 21:09:54