[
掲示板に戻る
]
記事No.34366に関するスレッドです
★
解けない
/ さすけ
引用
次の問題が解けません。
よろしくお願いします。
No.34366 - 2015/11/21(Sat) 12:08:43
☆
Re: 解けない
/ X
引用
(1)
f'(x)=3x^2-1
∴lの接点を(t,f(t))とすると
lの方程式は
y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t
これが点(a,a^3-a)を通るので
a^3-a=(3t^2-1)(a-t)+t^3-t
これより
(2t+a)(t-a)^2=0
条件からt≠aゆえ
t=-a/2
よってlの方程式は
y={(3/4)a^2-1}x+(1/4)a^3
(2)
(1)の結果により
(i)a＜0のとき
S(a)=∫[a→-a/2]{(x^3-x)-{{(3/4)a^2-1}x+(1/4)a^3}}dx
=∫[a→-a/2]{x^3-{(3/4)a^2}x-(1/4)a^3}dx
=[(1/4)x^4-{(3/8)a^2}x^2-(x/4)a^3][a→-a/2]
=(3/8)a^4+(1/64)a^4-(3/32)a^4+(1/8)a^4
=(27/64)a^4
(ii)0≦aのとき
S(a)=∫[-a/2→a]{{{(3/4)a^2-1}x+(1/4)a^3}-(x^3-x)}dx
=∫[a→-a/2]{(x^3-x)-{{(3/4)a^2-1}x+(1/4)a^3}}dx
これは(A)と同じです。
以上から
S(a)=(27/64)a^4
(3)
(1)の過程により
g(a)=-a/2
∴{a[n]}について
a[n+1]=g(a[n])=-a[n]/2
これより
a[n]=a[1](-1/2)^(n-1)
=a(-1/2)^(n-1) (A)
(A)と(2)の結果により
Σ[n=1〜∞]S(a[n])=Σ[n=1〜∞]S(a(-1/2)^(n-1))
=Σ[n=1〜∞](27/64)(a^4)(1/16)^(n-1)
=(27/64)(a^4)/(1-1/16)
=(9/20)a^4
No.34375 - 2015/11/21(Sat) 18:49:15
