すいません。次の問題また解き方教えてください。
お願いします。
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No.34448 - 2015/11/24(Tue) 15:28:57
| ☆ Re: 解き方 / ヨッシー  | | | ｍの 10^n の位の数を b[n] とします。
たとえば、ｍ＝５３７ のとき、
b[0]＝7, b[1]＝3, b[2]＝5 ,b[n]＝0 (ｎ≧3) です。
また、
ｍ＝Σ[n=0〜∞]b[n]10^n、f(m)＝Σ[n=0〜∞]b[n]
と書けます。
(1)
n=0 のとき b[n]10^n＝b[n]
n≧1 のとき b[n]10^n≧b[n] 等号は b[n]＝０ のとき
よって、f(m)≦m であり、f(m)=m となるのは
ｍ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9
(2)
ｍ−f(m)＝Σ[n=0〜∞](10^n−1)b[n]
10^n−1＝（９＋１）^n−１
＝Σ[k=0〜n]nＣk９^k−１
＝1＋Σ[k=1〜n]nＣk９^k−１
＝Σ[k=1〜n]nＣk９^k
これは９の倍数であるので、３の倍数でもある。
よって、ｍが３の倍数なら、f(m)も３の倍数となる。
(3)
ｋ＝a[1]の最大値は 9999・・・999＝10^2013−1
このとき a[2]＝18117 で、これがa[2] の最大である。
a[2]＝17999 のときの、a[3]＝35 が a[3]の最大、
a[3]＝29 のときの a[4]＝11 がa[4] の最大であり、a[5] は必ず１桁の数となります。
ｋが３の倍数の時 a[5]＝３，６，９
実際に ｋ＝3×10^2012、6×10^2012、9×10^2012 のとき、a[5]＝３，６，９ となります。
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No.34481 - 2015/11/26(Thu) 00:41:13 |
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