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記事No.34672に関するスレッドです
★ (No Subject) / あさみ
お願いします。
No.34672 - 2015/12/12(Sat) 22:01:26
☆ Re: / X
x^2+y^2-4x-2y≦0 (A)
3x-3y+ty-3t≧0 (B)
とします。

(1)
前半)
Kの方程式を整理して
(x-2)^2+(y-1)^2=5
∴中心の座標は(2,1)
後半)
lの方程式を整理すると
3(x-y)+(y-3)t=0
条件からこれをtの恒等式と見ることができるので
両辺を比較して
x-y=0 (C)
y-3=0 (D)
(A)(B)を連立して解き
x=y=3
∴求める定点の座標は(3,3)

(2)(3)
まず準備。
(1)の結果からlの定点はKの上にあることが分かります。
又、lの方程式を変形すると
x=(1-t/3)y+t
これとt≦0により、
lはy軸を基準としたときの傾きが1以上の直線。
(但しx軸平行にはなりません)
更に(A)(B)を変形すると
(x-2)^2+(y-1)^2≦5 (A)'
x≧(1-t/3)y+t (B)'
よってDは
円Kの内側の領域(境界含む)
と
直線lの下側の領域(境界含む)
の共通領域になります。

で、(2)ですが
y-2x=k
と置くと
y=2x+k (E)
そこでt=-6のときのDを図示したものの上に
直線(E)を図示し、y切片であるkが最小となるような
(E)の位置を考えます。
(必ず図示しましょう)
するとkは(E)がKの下側に接するときに最小に
なることが分かります。
後はKの方程式と(E)との連立方程式を使って
解の判別式に対する条件を使うか、Kの中心と
(E)との距離がKの半径になることを使うか
いずれか好きな方でkについての方程式を
立てて下さい。

次に(3)について。
Dを図示したものの上に直線(E)を図示して考える点は
(2)と同じです。
又、kの最小値はt≦0の範囲においてtの値によりません
((∵)Kと(E)との接点はKの右下になります)
ので、そのまま(2)の結果が使えます。
問題はkの最大値の方ですがこれはlの傾きについて
場合分けが必要です。
(E)のy軸を基準としたときの傾きが1/2であることに注意すると
(i)1-t/3≦1/2のとき
kは(E)がKとlとの右上側の交点(つまり(1)で求めた定点(3,3))
を通るときに最大になります。(図示しましょう)
(ii)1/2≦1-t/3のとき
kは(E)がKとlとの左下側の交点(座標はKとlの方程式を
連立方程式と見て解いて求めます。結果はtの式で表せます)
を通るときに最大になります。(図示しましょう)

後は(i)(ii)それぞれについて最大値と最小値との和が-7であることから
tの方程式を立てて解き、結果が(i)(ii)の条件を満たしているかを
確かめます。

只、(i)についてはkが最大となるとき、tによらない定点(3,3)
を通ることから最大値と最小値との和はtの値によらず一定です
ので、tの方程式を解く必要もなく、条件の確かめも容易です。
(こちらでは確かめていませんが、恐らく条件を満たさない
と思います。)
No.34673 - 2015/12/12(Sat) 22:48:29