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No.34825 - 2015/12/23(Wed) 18:49:26
| ☆ Re: / X | | | 条件から
↑OP=(t,t,-t+k) (A)
(tは実数)
と置くことができます。
一方、△ABCが正三角形であることに注意すると
点P,A,B,Cからの距離が等しい点をQとしたとき
点Qは△ABCの重心を通り、△ABCを含む平面に
垂直な直線上の点となっています。
ここで△ABCを含む平面の方程式は
x/1+y/1+z/1=1
つまり
x+y+z=1 (B)
∴(B)の法線ベクトルは(1,1,1)
一方、A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)ゆえ
△ABCの重心をGとすると
↑OG=(↑OA+↑OB+↑OC)/3=(1/3,1/3,1/3)
∴↑OQ=(u+1/3,u+1/3,u+1/3) (C)
(uは実数)
と置くことができます。
更に
PQ=AQ
∴|↑PQ|^2=|↑AQ|^2
これに(A)(C)を用いると
(u+1/3-t)^2+(u+1/3-t)^2(u+1/3-(-t+k))^2=(u+1/3-1)^2+(u+1/3)^2+(u+1/3)^2
これより
-4t(u+1/3)+2t^2+2(t-k)(u+1/3)+(t-k)^2=-2(u+1/3)+1
(t-k)^2+2t^2-1={2(t+k)-2}(u+1/3)
3t^2-2kt+k^2-1=2(t+k-1)(u+1/3) (D)
題意を満たすためにはuをtの関数と見たときに
ｔの定義域が実数全体にならなければならない
ので(D)の左辺がt+k-1を因数に持たなければ
なりません。
よって因数定理により
3(1-k)^2-2k(1-k)+k^2-1=0
これより
3(k^2-2k+1)+(2k^2-2k)+k^2-1=0
6k^2-8k+2=0
3k^2-4k+1=0
(3k-1)(k-1)=0
∴k=1,1/3
となります。
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No.34828 - 2015/12/23(Wed) 19:48:38 |
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