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記事No.35023に関するスレッドです
★ 定積分の値の証明 / まるまん
以下の等式の証明が知りたいです。
よろしくお願いします。
No.35023 - 2016/01/09(Sat) 14:37:40
☆ Re: 定積分の値の証明 / ぺんぎん
考え方のみですが。
特に断りが無い場合、積分区間は[0,1]とします。

∫log(1+x)/x dx + ∫log(1-x)/x dxを考えます・・・?@

-∫log(1-x)/x dxは1-x=e^(-u)と置くと、ゼータ関数ζ(2) = ∫_{0〜∞}u/(e^u-1) duに帰着します・・・?A
これはバーゼル問題として知られており、π^2/6となります。

一方で、?@は
∫log(1-x^2)/x dx=1/2∫log(1-x^2)/x^2・2xdx
と変形できるので、t=x^2と置くと、
1/2∫log(1-t)/t・dtとなります。これは?Aと同じ式なので、ゼータ関数ζ(2)に帰着します。

よって、∫log(1+x)/x dx -　ζ(2) = -ζ(2)/2
となり、∫log(1+x)/x dx = ζ(2)/2 = π^2 /12
No.35024 - 2016/01/09(Sat) 17:16:03
☆ Re: 定積分の値の証明 / ast
# バーゼル問題を逆数の平方和 π^2/6 = Σ_[n=1,2,…] 1/n^2 の形で書いただけで
# 本質的にはぺんぎんさんとまったく同じことですが…,
(収束性の検証は自分でしてもらうとして) log(1+x) をテイラー展開して項別積分することにより, 問題の値は S = Σ_[n=1,2,…] (-1)^(n-1)/n^2 と書けます. 一方, 辺々引いて π^2/6 - S = Σ_[m=1,2,…] 2/(2m)^2 = (1/2)Σ_[m=1,2,…] 1/m^2 = π^2/12 なので結論を得ます.
No.35025 - 2016/01/09(Sat) 17:36:17