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記事No.35100に関するスレッドです
★ 3次関数 / Mic
3次関数の問題です
よろしくおねがいします
No.35100 - 2016/01/14(Thu) 14:19:04
☆ Re: 3次関数 / 水面に映る月
Micさんは，大学生ですか？
もしそうなら，これは，「3次函数の問題」というより，行列式の問題であるように思います．
No.35101 - 2016/01/14(Thu) 15:01:15
☆ Re: 3次関数 / Mic
ありがとうございます
行列式の問題でしたか...
検討違いでした
解いていただければ有り難いです。
No.35103 - 2016/01/14(Thu) 16:49:57
☆ Re: 3次関数 / 水面に映る月
方針のみ書きます．

f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+Dグラフが与えられた4点を通るということから，実数A,B,C,Dについての四元連立一次方程式を得ます．これは，w=t(A,B,C,D),v=t(v[1],v[2],v[3],v[4])とおくと，4次正方行列Uを使って，次のように書くことができます．

Uw=v

ここで，det(U)はヴァンデルモンドの行列式となります．これが0でないことを示して，Uが正則であることを示せばOKです．

# ヴァンデルモンドの行列式については，たいていの線形代数の本には記載があると思います．
# 証明などについては，そちらを参考にしてください．ネットで検索しても出てくるはずです．
No.35105 - 2016/01/14(Thu) 17:33:16
☆ Re: 3次関数 / 水面に映る月
No.35105の私のレスでw=t(A,B,C,D)としましたが，w=t(D,C,B,A)としたほうがよさそうですね．そのように訂正します．
No.35106 - 2016/01/14(Thu) 17:41:16
☆ Re: 3次関数 / Mic
ありがとうございました。
No.35114 - 2016/01/15(Fri) 10:41:10
☆ Re: 3次関数 / Halt0
別解:
φ1(x)=(x-u2)(x-u3)(x-u4)
φ2(x)=(x-u2)(x-u3)(x-u4)
φ3(x)=(x-u1)(x-u2)(x-u4)
φ4(x)=(x-u1)(x-u2)(x-u3)
とおけば,
f(x) = Σ[i=1,4] viφi(x) / φi(ui) は 3 次関数であって, f(ui)=vi を満たす. (各 ui が異なるため φi(ui)≠0 に注意すること) あとはこのような f(x) が一意に定まることを示せばよい. そこで 3 次関数 g(x) もまた g(ui)=vi を満たすとすれば,
3次関数 f(x)-g(x) は 4 点 x=u1,u2,u3,u4 で値 0 をとる. したがって代数学の基本定理により f(x)-g(x)=0. ゆえに f(x)=g(x).

(補足: ここでは f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D の形で表せる関数という意味で「3次関数」という言葉を使っています. (A=0 でも可))
No.35118 - 2016/01/16(Sat) 18:23:25