再度質問です。
よろしくおねがいします
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No.35190 - 2016/01/20(Wed) 12:19:59
| ☆ Re: 極限の問題 / 水面に映る月 | | | 失礼しました．それならば，「マクローリンの定理」を用いれば解決すると思います．
マクローリンの定理(やテイラーの定理)についての証明は本を読んでもらうとして，f(x)=e^(-x)とすると，fはC^∞級で，(d^k/dx^k)e^(-x)={(-1)^k}(e^(-x))(k=0,1,2,...)であるから，マクローリンの定理によって，
∃θ∈(0,1) s.t. e^(-x)={Σ[k=0,n](-1)^k(x^k)/k !}+{(-1)^(n+1)}e^(-θx)(x^(n+1))/(n+1) !
従って，
lim[x->0](e^(-x)-(a[0]+a[1]x+…+a[n]x^n))/x^(n+1)
=lim[x->0](Σ[k=0,n][{(((-1)^k)/k !)-a[k]}/x^(n-k+1)]+((-1)^(n+1))e^(-θx)/(n+1) !)…(*)
lim[x->0](((-1)^(n+1))e^(-θx)/(n+1) !)=((-1)^(n+1))/(n+1) !であるから，(*)が有限の値に確定する為には，
lim[x->0](Σ[k=0,n][{(((-1)^k)/k !)-a[k]}/x^(n-k+1)]が有限の値に確定しなければならないが，0≦k≦nのときn-k+1>0であるから，この為には，係数がすべて0でなくてはならない(逆は明らか)．
よって，a[k]=(((-1)^k)/k !)(k=0,1,2,...,n)
また，求める極限値は，((-1)^(n+1))/(n+1) !
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No.35199 - 2016/01/20(Wed) 20:24:34 |
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