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記事No.35212に関するスレッドです
★ (No Subject) / ##
(１)で漸化式の変形から出来ません。教えていただきたいです。
(2)も答えがａn＝2/3^n-1となるのですが、途中式がわからないので、教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.35212 - 2016/01/21(Thu) 22:17:35
☆ Re: / 水面に映る月
(1)
(そこまで求められていないかもしれませんが，)最初に任意の正の整数nに対してa[n]≠0を示しておきましょう．

背理法で示す．
今，仮に，a[n]=0を満たすような正の整数nが存在したとしよう．この時，このようなnのうちで最小のものが存在するので，それをk(k≧2)とすると，漸化式より，
a[k]=a[k-1]/(a[k-1]+3)=0
であるから，a[k-1]が従う．これは，kがa[n]=0となる最小のnであることに矛盾するから，背理法によって，任意の正の整数nに対して，a[n]≠0が言えた．

与えられた漸化式a[n+1]=a[n]/(a[n]+3)について，両辺の逆数をとると，
1/a[n+1]=(a[n]+3)/a[n]=1+3/a[n] であるから， b[n+1]=3b[n]+1・・・(*)

------以下手元計算------
漸化式(*)の特性方程式β=3β+1を解くと，β=-1/2
------手元計算終わり------

ここで，(*)は，次のように変形できる．
b[n+1]+1/2=3(b[n]+1/2)
従って，数列{b[n]+1/2}は初項3/2，公比3の等比数列であるから，
b[n]+1/2=(3^n)/2 すなわち， b[n]=(3^n-1)/2

(2)
a[n]=1/b[n]=2/(3^n-1)

# あら?私の計算でも##さんと同じ結果になりましたね…．答えが間違ってるんかな．
No.35213 - 2016/01/21(Thu) 22:47:13
☆ Re: / 水面に映る月
編集パス入れ忘れたので訂正します・・・．
上の私の回答の7行目です．
>であるから，a[k-1]が従う．
これは，「であるから，a[k-1]=0が従う．」の間違いです．失礼しました．

あと，訂正のついでに1点補足しておきますが，特性方程式は，漸化式においてb[n]とb[n+1]をともにβとしたものです．数列{b[n]-β}を等比数列にしたいがためにこのような方程式を考えています．教科書にも載っている・・・(かな)と思います．

# 答えも私の計算結果と一致しているようですね．失礼しました．
No.35214 - 2016/01/21(Thu) 22:56:07
☆ Re: / ##
ありがとうございます！
参考にさせていただきます！
No.35219 - 2016/01/22(Fri) 07:44:01
☆ Re: / 水面に映る月
もう見ていないかもしれませんが，もし見ていたら，以下の注意も読んでいただけると有り難いです．

漸化式a[n+1]=pa[n]+qに対応した方程式α=pα+qを「特性方程式」と呼んでよいのかどうかということに関しては，議論のあるところですから(その理由はちょっと難しいです)，答案には「特性方程式」といった言葉は書かないほうが良いように思います．
「ん?この式変形，どうやって思いついたかって?いやぁ，思いついたんだよ．すごいっしょ(￣∇￣)v ﾄﾞﾔｯ!」って感じで，しれっと，式変形だけ書いて(上の私の回答でいうと，この部分→「ここで，(*)は，次のように変形できる．b[n+1]+1/2=3(b[n]+1/2)」)，特性方程式については答案には書かないほうが良いと思います．
No.35220 - 2016/01/22(Fri) 12:35:17