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記事No.35383に関するスレッドです
★ 入試問題 / おでん
（1）から止まりました。A（a，b）とおくと（APの傾き）×（接線の傾き）＝−1〜?@
AP間の距離が半径（b）であるから（APの距離）＝b〜?A
これで連立すれば解けると思ったのですが写真のようになりました（赤枠）。ここでaとbの値が２つ含まれているのですがこの２つの解が正しいのか（範囲に入っているか）がわかりません。
もしかしたらこれは面倒くさい中心の出し方なのでしょうか？
No.35382 - 2016/01/30(Sat) 21:35:32
☆ Re: 入試問題 / おでん
これが問題です
（縦で写真撮ってるのですがなぜか貼るときに横になってしまいます…。見辛くてごめんなさい）
No.35383 - 2016/01/30(Sat) 21:37:04
☆ Re: 入試問題 / X
まず、bの計算方法に問題があります。
計算自体に問題はありませんが、既にaの値が求められているので
その結果を第1式に代入した方がいいでしょう。
それにより
a=t(1-logt)±(logt)√(1+t^2) (A)
b=(1+t^2)logt干(logt)t√(1+t^2) (B)
(複号同順、以下同じ)
というように複号の対応関係が絞り込めます。

次に、不適な解の判定方法ですが、(A)より
da/dt=(1-logt)-1±{(1/t)√(1+t^2)+t(logt)/√(1+t^2)}
=-logt±{(1/t)√(1+t^2)+t(logt)/√(1+t^2)} (A)'
∴(A)の複号のうち、-に対しては
da/dt＜0
でかつt=1のときa=1となりますので
t＞1においてa＜1となり、条件を満たしません。
((A)の複号のうち、+に対しては
da/dt＞0
かつ
t=1のときa=1
となります((A)'を整理して確かめてみて下さい。))
よって
a=t(1-logt)+(logt)√(1+t^2)
b=(1+t^2)logt-(logt)t√(1+t^2)
となります。

それとご質問の内容から外れますが、添付された画像で
気になった点が一つ。
一枚目の画像でのおでんさんの記述で
>>a=t(1-logt)±logt√(1+t^2)
>>b=(1+t^2)logt±tlogt√(1+t^2)
とありましたが、
logt√(1+t^2)
tlogt√(1+t^2)
は書き方を改めて下さい。
計算過程で
(logt)√(1+t^2)
t(logt)√(1+t^2)
の意味であることは分かりましたが、直接これだけを見た場合
log{t√(1+t^2)}
tlog{t√(1+t^2)}
の意味に取られます。
もし、記述式の問題で計算過程としてこれらを書いた場合、
間違いなく×になります。
No.35389 - 2016/01/31(Sun) 11:18:30
☆ Re: 入試問題 / おでん
考え方&アドバイスありがとうございます！以後気をつけます
結構大変な計算ですね…
出題者は計算力を見ているのでしょうか？？
もしかしたらうまいやり方があるかもしれませんね！
No.35391 - 2016/01/31(Sun) 15:47:48
☆ 紙を90°回転させて写真を撮ってみるとか。 / ＿
試験時間の都合上、その方針で突っ走ってしまったらなんとなく出題者の思う壷なんじゃないかなーと思いました。

接線の方向ベクトルは(t,1)なのでこれと垂直なベクトルのうち接点から円の中心に向かうものとして(1,-t)を選ぶ。この大きさは√(1+t^2)だから、円の半径をrとすると(t,logt)+{r/(1+t^2)}(1,-t)が円の中心を表すので…
No.35393 - 2016/01/31(Sun) 17:01:33
☆ Re: 入試問題 / IT
円の半径と円の中心のy座標bが等しいので
b=-t(a-t)+logt={√(1+t^2)}(a-t)
aについて解くと
a=(logt){√(1+t^2)-t}+t
b=-t(logt){√(1+t^2)-t}+logt

途中計算を省いてますがそんなに複雑ではないと思います。
断りなしにt≦a としていいと思うのですが、私がなにか勘違いしてるかも。
No.35394 - 2016/01/31(Sun) 17:04:51
☆ Re: 入試問題 / IT
> 結構大変な計算ですね…
> 出題者は計算力を見ているのでしょうか？？

見えている答案の６行目から７行目で　両辺を２乗しているのが、遠回りになっていると思います。
No.35397 - 2016/01/31(Sun) 18:12:34