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記事No.35443に関するスレッドです
★ 複素数平面 / まりも
この問題なのですが途中までといたのですが、どのように無限大にもっていけばいいのですか？
複素数の極限？？？
答えは、1+i です
No.35442 - 2016/02/02(Tue) 20:51:59
☆ Re: 複素数平面 / まりも
極限を取る前まではいけました
No.35443 - 2016/02/02(Tue) 20:52:31
☆ Re: 複素数平面 / IT
α^n →　0　(n→∞) です。　確認してください。

後はα=(1/2)(1+i) を代入して計算するとできます。
No.35445 - 2016/02/02(Tue) 21:56:19
☆ Re: 複素数平面 / 水面に映る月
横から失礼します．

>>まりもさん
複素数列{w[n]}がn→∞のとき複素数wに収束する，ということがどういうことを意味するか，ご理解されていますか?
No.35446 - 2016/02/02(Tue) 22:43:20
☆ Re: 複素数平面 / まりも
複素数でもそのように極限に飛ばしていいのですか？？


>>水面にうつる月さん
理解していません。
No.35447 - 2016/02/03(Wed) 00:25:58
☆ Re: 複素数平面 / 水面に映る月
まずは，複素数列{w[n]}がn→∞のとき複素数wに収束する，ということがどういうことを意味するか，ということを理解しないといけませんね．

複素数列{w[n]}がn→∞のとき複素数wに収束する，ということは，平たく言えば，「複素平面において，n=1,2,3,…としていったときに，最終的に，複素数w[n]に対応する点が，複素数wに対応する点の近くに集まってくる」ということです(数式で書くと，lim[n→∞]|w[n]-w|=0となります．むしろこのほうがわかりやすいかもしれませんね．実数列の収束に帰着されていることに注意してください)．

複素数列{α^n}(|α|<1)を複素平面上に図示すると原点の周りをぐるぐる回りながら次第に原点に集まってくることはわかりますか？もしこれがわかるなら，先ほど説明したことから，α^n→0(n→∞) であることが理解できると思います(数式で書くと，|α^n-0|=|α^n|=|α|^n→0(n→∞)であるから，α^n→0(n→∞))．

また，複素数列{w[n]}を複素平面上の点列として扱うのが難しい，ということであれば，w[n]=x[n]+iy[n]というように実部と虚部に分けて考えて，それぞれの極限を考えても構いません．x[n]→x(n→∞),y[n]→y(n→∞) であれば，w[n]→x+iy(n→∞)となります(但し，これは今回の(つまり{α^n}の極限を求める)場合，あまり得策とは言えなさそうです．複素平面上の点列として極限が0(=0+i*0)となると考えたほうが容易だと思います)．

# 今後の学習のために書くと，
# 数学の問題がわからない，というときには，「自分の知らない(理解していない)
# 概念が含まれている」という場合と，「単に解き方が思いつかない」という場合
# があると思います．今回は前者の場合だと思いますが(つまり，複素数列の極限という概念を知らない)，
# そのような場合はまずは教科書や本を読んでみてください．概念についてであれば，
# (その問題がその教科書や本の範囲内であれば)必ずどこかに記述がある筈です．
### 何か不明な点があれば，遠慮なく質問してください．最近はラジオでも
### 聞きながら朝5時まで起きていますので（笑）．
No.35448 - 2016/02/03(Wed) 00:38:45
☆ Re: 複素数平面 / 水面に映る月
まりもさんは高校生ですか？
もしそうであれば，どうやら高校の教科書では複素数列の極限は扱われていないっぽいですね．失礼しました．

ということであれば，おそらくこの問題は，z[n]=(α^n-1)/(α-1)を出した後は，これをa[n]+ib[n]の形に直して，複素数のことはいったん忘れて，平面上の点(a[n]，b[n])のx座標(a[n])とy座標(b[n])の極限を求める問題と考える，ということになりそうです．
No.35496 - 2016/02/05(Fri) 23:15:28
☆ Re: 複素数平面 / まりも
返信おくれてすいません。
いろいろ丁寧に書いてくださりありがとうございます。
高校生です。
感覚的に45度ずつまわり、アンモナイトみたいにまわっていって、1点に収束することはわかりました。

今年大学をうけるので、なるべく減点されない回答をかきたいので、
そうなると、z(n)を実部と虚部でわけて、それぞれ無限大の持っていけばよいということですか？？
No.35516 - 2016/02/06(Sat) 21:36:53
☆ Re: 複素数平面 / 水面に映る月
>感覚的に45度ずつまわり、アンモナイトみたいにまわっていって、1点に収束することはわかりました。

その通りです．良い喩えですね（笑）．

>今年大学をうけるので、なるべく減点されない回答をかきたいので、
>そうなると、z(n)を実部と虚部でわけて、それぞれ無限大の持っていけばよいということですか？？

これがなかなか微妙なところです．というのも，問題文中の「ある定点に限りなく近づくことを示し」という記述に問題があるのです．「定点に限りなく近づく」というのが数学的に何を意味しているのか，ということがはっきり書かれていないのです．おそらく，この問題は入試問題ではないのだと思いますが，入試問題であれば，こんないい加減な問題文にはしないと思いますので安心してください．

入試ではおそらく，何をもって「定点に限りなく近づく」というのか，ということをはっきり書いていると思いますから，それに従って下さい．

そうは言っても，入試問題がこの問題文だったらどうか，という話になりますが，それに対しては，

[I]実部と虚部に分けてそれぞれの極限を求める
[II](定点Pを複素数の極限の概念などを用いて天下り的に出して)定点Pと点P_nの距離が0に収束することを示す

の2通りの答案が考えられますが，問題文中にはっきり書いていない以上，どちらでもOKだと思います．しかし，[I]の解法のほうが自然であるとは思います．

# 入試頑張ってください！
No.35518 - 2016/02/06(Sat) 21:54:48
☆ Re: 複素数平面 / まりも
いろいろありがとうございます。
頑張ります！！
No.35535 - 2016/02/07(Sun) 14:56:09