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記事No.36201に関するスレッドです
★ 固有ベクトル / ふなっし
ファイル文章(PDF文書をﾌﾟﾘﾝﾄｽｸﾘｰﾝしたもの)を添付しました。数検一級の一次のとある問題です。

この問題は単純に、ある行列の固有値を求める問題であり、普通のやり方でそれを求めることはできるのですが、?Aの問題の方で、別解というか(補足)にあるように、わざわざ一から固有方程式を解く必要はない、とありました。
この(補足)の部分の説明がよくわかりません。
(以下の式において、λ1は固有値λに対し添え字が1という意味、→x1は固有ベクトルです。表記でより良いものがあれば、直していただいて構いません。)
この補足説明で言っているのは、
AA*=λ1→x1,λ1→x1が?@の問題から言えて、よって
A*A=A*→x1,A*→x2
が成り立つ(?)ということでしょうか？いまいち意味がわかっていません。。
わからないことが伝わってるか不安ですが、より丁寧な解説を加えるとすればどのようになるでしょうか、よろしくお願いします。
No.36201 - 2016/03/18(Fri) 22:06:38
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
ダメですか?
No.36225 - 2016/03/19(Sat) 16:30:15
☆ Re: 固有ベクトル / X
A(A*)↑x=λ↑x (A)
の両辺に左からA*をかけると
(A*)A{(A*)↑x}=λ{(A*)↑x}
よって
(A*)↑x=↑X
と置くと
(A*)A↑X=λ↑X (B)
(A)において
(λ,↑x)=(λ[1],↑x[1]),(λ[2],↑x[2])
∴(B)において
(λ,↑X)=(λ[1],(A*)↑x[1]),(λ[2],(A*)↑x[2])
となります。
No.36229 - 2016/03/19(Sat) 18:05:00
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
ありがとうございます。
「A(A*)↑x=λ↑x (A)
の両辺に左からA*をかけると・・・」
とのコメントで悩みの種が解決しました!

出来ればもう一つ、今度はpdf(補足)後半部分に関して、
「そして残る一つの固有値は・・・」の部分で、
「A↑y=↑0なる三次元ベクトル↑yが存在する」とありますが、行列Aは非正方行列なのに固有ベクトルが定義されるのですか？
その記述の最後部分の「ベクトルは直交」云々の箇所は
教科書に記載があったのでわかりました。
↑yの話がよくわからないので、出来ればお願いしたいと思います。。
No.36233 - 2016/03/19(Sat) 22:04:30
☆ Re: 固有ベクトル / X
↑yがAの固有ベクトルである、という話ではありません。
飽くまで、単に
A↑y=↑0
となるような↑y(≠↑0)が(A*)Aの固有ベクトルである
という話です。

A↑y=↑0
の両辺に左からA*をかけると
{(A*)A}↑y=↑0
∴{(A*)A}↑y=0・↑y
なので↑yは(A*)Aの固有値0に対する固有ベクトルです。
No.36234 - 2016/03/19(Sat) 23:38:48
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
ありがとうございます!
非常に丁寧でわかりやすい解説のおかげで、
99%理解しました!
最後に、、、「rankA=2であるから」
という説明は何の意味があるのでしょう?
No.36235 - 2016/03/20(Sun) 01:11:51
☆ Re: 固有ベクトル / X
線形代数学の教科書などで階数(rank)の項目を
参照し、付随する定理について調べてみましょう。
No.36240 - 2016/03/20(Sun) 14:53:49
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
rankA=2であり、≠0だから、ということでしょうか??
定理を見ましたが、よくわかりません。。
No.36242 - 2016/03/20(Sun) 15:55:02
☆ Re: 固有ベクトル / X
A↑y=↑0を満たす↑y≠↑0が存在する
⇔Aを構成する列ベクトルは線形独立ではない
⇔Aは正則ではない
このことと調べている定理を考え合わせてみましょう。
No.36249 - 2016/03/20(Sun) 19:07:46
☆ Re: 固有ベクトル / ふなっし
考えてみます。
ご迷惑をおかけしました。
No.36254 - 2016/03/20(Sun) 21:53:53