[ 掲示板に戻る ]
記事No.36241に関するスレッドです
★ 楕円の方程式ｄ / 濱さん
問とその解は以下の通りですが（よく教科書、ワーク等で取り上げられる証明）その件について質問させていただきます。

Q１、Q2 二乗の同値変形に関する質問（以下の画像のとおりです）

Q3 我々は、答えが楕円となるので、Pが「○３の画像」の位置に来ないことはわかっていますが、問題を解く（証明する）にあたっては、そのことは分からないので、もちろん「○３の画像」の位置に来ることも想定しないといけません。このとき「FP+F’P＝FF’」つまり「a=c」となるので、安易に○４でa^2b^2で割ることは許されないのではないですか？
No.36241 - 2016/03/20(Sun) 15:40:14
☆ Re: 楕円の方程式ｄ / 水面に映る月
# まず確認ですが，そもそもの設定として，a>c>0となっていませんか?

実は，平方しているところ2か所では⇔で結べなくなっている可能性があります(むしろ，この2か所については，⇔で結べるということは(少なくとも私の洞察能力からして)後から確認して分かることなので，⇒にしておくべきです)．

2回の平方で抜けてしまっている可能性がある条件は，
1回目:2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0…(i)
2回目:a^2+cx≧0…(ii)
です．

つまり，求める軌跡は最終的に出てきた方程式の表す曲線の一部である可能性があるということです．そこで，出てきた方程式の表す曲線上の任意の点(x,y)について，(i)(ii)が成立することを最後に言わねばなりません．下記URLを参考にしてください．

参考URL:http://sshmathgeom.private.coocan.jp/highschool/problem12.html
No.36247 - 2016/03/20(Sun) 18:26:43
☆ Re: 楕円の方程式ｄ / 水面に映る月
なお，Q1,2についての濱さんの考えは誤りです．

例えば，x+1=2と(x+1)^2=2^2は同値ではないですよね．
No.36251 - 2016/03/20(Sun) 19:52:36
☆ Re: 楕円の方程式ｄ / 濱さん
お返事ありがとうございます。

「そもそもの設定として，a>c>0となっていませんか?」→なっていました…すいません

「 求める軌跡は最終的に出てきた方程式の表す曲線の一部である可能性がある 」
→図のように（わかりにくいですが）問題文の条件の部分から「二乗○１」において＜青０、ー＞の部分が除外され、その範囲の中で「二乗○２」において＜緑０、ー＞の部分が除外され、結局求めたのは斜線部のみだということですか？（実際は＜青０、−＞＜緑０、−＞の部分は存在しなかったことが逆で証明されるということですか？）

「例えば，x+1=2と(x+1)^2=2^2は同値ではないですよね」
→「x+1=2」をみたすxは実際は「１」のみなので、結果としては両辺ともに正となるが、今の地点ではxにはあらゆる複素数が入る可能性があるため（実際１以外の数では等号が成立しないことは、すべての数を代入してみてわかることなので）、左辺が正でない可能性もあるということですか？

今回の場合は、実際は二乗する前の式は「答となる楕円」上の点でしか成立しない式で、この時には両辺とも正となるが、今の時点では(x,y)に「答となる楕円」上にない点も(x,y)として成り立つ「可能性」があり（実際代入してみて偽だとわかることであって）、右辺が正でない可能性もあるということですか？

なお、下の方の質問に対する訂正ありがとうございます。
No.36255 - 2016/03/20(Sun) 22:24:22
☆ Re: 楕円の方程式ｄ / 水面に映る月
# 濱さんの仰る内容を私が完全に理解したわけではありませんが，
# 何か誤解されているように思います．


プリミティヴに考えましょう．

A^2=B^2はA=Bであるための必要条件であるが，十分条件とは限らないですよね(無論，A,B>0などの条件があれば，十分条件でもあることになります)．つまり，平方した瞬間，要らないものが混じってしまった可能性がある，ということです．

つまり，√{(x+c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}を満たさないが，(x+c)^2+y^2=[2a-√{(x+c)^2+y^2}]^2を満たすような(x,y)が存在する可能性がある，ということです．

このことに対処する方法としては，2つ，考えられます．

戦略1:それぞれの式変形が同値変形であることを逐一確かめる(論理的にはこれができればすっきりしている)．
戦略2:とりあえず，必要条件で(x,y)の条件を求め(←これは言わば不純物が入っている可能性がある．もちろん不純物が入っていない可能性もあるが)，それを満たす任意の(x,y)が元の条件を満たすかどうか確認する．満たすならば，実はすべての変形は必要十分であったということになります．しかし，満たさないものがある場合は厄介です．除外すべき点や領域が何であるかを考える必要があります(それも過不足なく)．

楕円の方程式の導出などで最後に，「これは元の条件を満たす」というようなことをサラッと書いているものもありますが，これは(形式上は)「戦略2」をとっていることになります．

しかし，「元の条件を満たす」ことが一見して分かるとは思えませんよね(少なくとも私のような凡才には無理です)．本当は何をしているかといえば，実際はむしろ「戦略1」をしているのではないかと思います．

つまり，
√{(x+c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}
⇔(x+c)^2+y^2=[2a-√{(x+c)^2+y^2}]^2かつ2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0
⇔…
⇔a√{(x+c)^2+y^2}=a^2+cxかつ2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0
⇔a^2*{(x+c)^2+y^2}=(a^2+cx)^2かつ2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0かつa^2+cx≧0
⇔…
⇔x^2/a^2+y^2/b^2=1かつ2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0かつa^2+cx≧0
⇔x^2/a^2+y^2/b^2=1

ということです．

また，私のレスの，「例えば，x+1=2と(x+1)^2=2^2は同値ではないですよね」というのは，あまり例として良くなかったですね．改めて以下にご説明します．

濱さんの理屈だと，
x+1=2⇔x=2-1⇔x^2=(2-1)^2も正しいということになってしまいますよね，ということです．
つまり，濱さんの理屈だと，x+1=2において，1,2は正だから，xは正であり，x=2-1において両辺正だから２乗しても同値であるから，ということになりますよね．

「両辺正だから２乗しても同値」という言葉だけが独り歩きしているように思います．「必要十分」とは何だったのか，よく見つめなおしてください．プリミティヴに考えましょう．→も←も成り立つ，ということですよね．

A,B>0のとき，A=B⇔A^2=B^2
というときの「A,B>0のとき」というのは，そもそもの設定としての「両辺正」ということですよね．
No.36258 - 2016/03/20(Sun) 23:20:06
☆ Re: 楕円の方程式ｄ / 水面に映る月
あー，なるほど，失礼しました．
そのベン図は，"条件を満たす(x,y)の集合"ではなく"条件そのものの集合"なわけですね．ならば，恐らく濱さんの理解で良さそうです．

ですが，ちょっと不安なので，No.36258の私のレスも読んで，ご自身の理解を確かめて頂ければ幸いです．

# 不明な点，納得できない点があれば，遠慮なく御質問ください．
### あ，それとどうでも良いことかもしれませんが，「濱さん」とお呼びして宜しいでしょうか．
###「濱さんさん」だとちょっとアレなので．
### 今まであまりに自然で気付きませんでした．不快に思われましたら済みません．
No.36260 - 2016/03/20(Sun) 23:37:40
☆ Re: 楕円の方程式ｄ / 濱さん
「A,B>0のとき，A=B⇔A^2=B^2 というときの「A,B>0のとき」というのは，そもそもの設定としての「両辺正」」
→「x+1=2(または x=2-1)」の例に戻ると、両辺の関係や同値変形でその式に至るまでの過程はともかくとして、「x+1」「2」という個別、単独の式（これらは＝から切り出されている、＝で繋がれていない別々の式）において「ともに正」のときに二乗できるという理解で正しいですか？

「 √{(x+c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}
⇔(x+c)^2+y^2=[2a-√{(x+c)^2+y^2}]^2かつ2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0 」
→「 2a-√{(x+c)^2+y^2} 」が負となる可能性は考慮しなくてもいいのですか？

「「濱さん」とお呼びして宜しいでしょう」
→全然、大丈夫ですよ（笑）！ 不快だなんてとんでもない。
旧字体の変換が面倒なので「浜さん」でも結構です。
No.36264 - 2016/03/21(Mon) 10:08:11
☆ Re: 楕円の方程式ｄ / 水面に映る月
では，濱さんと呼ばせて頂きます(笑)．

> 「x+1=2(または x=2-1)」の例に戻ると、両辺の関係や同値変形でその式に至るまでの過程はともかくとして、「x+1」「2」という個別、単独の式（これらは＝から切り出されている、＝で繋がれていない別々の式）において「ともに正」のときに二乗できるという理解で正しいですか？

そのような理解で良いと思います．
もっと言えば，逆もたどれれば良いというだけの事ですね．個人的には，余計なことは覚えないで逐一，逆もたどれるかどうか考えたほうが確実であるように思います．

> 「 √{(x+c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}
> ⇔(x+c)^2+y^2=[2a-√{(x+c)^2+y^2}]^2かつ2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0 」
> →「 2a-√{(x+c)^2+y^2} 」が負となる可能性は考慮しなくてもいいのですか？

大丈夫です．次の(I)(II)はともに成り立ちますよね．

(I) √{(x+c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}⇒(x+c)^2+y^2=[2a-√{(x+c)^2+y^2}]^2かつ2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0

(II) (x+c)^2+y^2=[2a-√{(x+c)^2+y^2}]^2かつ2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0⇒√{(x+c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}
No.36266 - 2016/03/21(Mon) 10:33:55
☆ Re: 楕円の方程式ｄ / 濱さん
長文に渡りお付き合いいただきありがとうございました。

これからもお世話になるときがあると思いますが、その時はよろしくお願いいたします。
No.36267 - 2016/03/21(Mon) 11:47:37