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記事No.36293に関するスレッドです
★ 複素数平面 図形の応用 / らっこ
この、添付してある画像の問題がわかりません。
No.36293 - 2016/03/22(Tue) 16:14:52
☆ Re: 複素数平面 図形の応用 / X
問題の等式を(A)とします。
(1)
(A)から
γ-β=2i(α-β)
∴BC⊥ABかつBC=2AB (P)
よって
△ABCは辺の比が1:2:√3の直角三角形

(2)
(A)に
α=-1+3i,γ=3
を代入して
2i(-1+3i)+(1-2i)β=3
これをβの方程式として解き
β=1+4i
∴γ-β=2-4i (B)
一方、複素平面上にA,B,Cを図示して
点Dと辺ABとの位置関係を考えることにより
δ-β={cos(-π/3)+isin(-π/3)}(α-β)
={1/2-i(√3)/2}(-2-i)
=-(1/2)(1-i√3)(2+i)
=-(1/2){2+√3+i(1-2√3)} (C)
∴δ=β-(1/2){2+√3+i(1-2√3)}
=1+4i-(1/2){2+√3+i(1-2√3)}
=(1/2){-√3+i(7+2√3)}
=-(√3)/2+(7/2+√3)i
△ABDが正三角形であることと(P)より
BC=2BD
に注意すると、↑BCを回転の基準としたときの
↑BDと同じ向きの単位ベクトルに対応する
複素数zは
z=2(δ-β)/(γ-β)
これに(B)(C)を代入すると
z=-{2+√3+i(1-2√3)}/(2-4i)
=-(1/2){2+√3+i(1-2√3)}(1+2i)/5
=-(1/10){(2+√3)-2(1-2√3)+i(1-2√3)+2i(2+√3)}
=-(1/10)(5√3+5i)
=-(1/2)(√3+i)
=-(cos(π/6)+isin(π/6))
=cos(7π/6)+isin(7π/6)
=cos(-5π/6)+isin(-5π/6)
条件から
0≦θ≦π
に取る必要があるので
θ=5π/6
No.36297 - 2016/03/22(Tue) 19:43:02
☆ Re: 複素数平面 図形の応用 / ヨッシー
∠Ｂ＝90°で、ＡＢ：ＢＣ＝１：２ なので、
　１：２：√5
の直角三角形になります。
No.36303 - 2016/03/22(Tue) 21:20:19
☆ Re: 複素数平面 図形の応用 / らっこ
自分でももう一度やってみます
ありがとうございます
No.36306 - 2016/03/23(Wed) 09:49:38
☆ Re: 複素数平面 図形の応用 / X
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>らっこさんへ
ごめんなさい。(1)についてはヨッシーさんの
仰るとおりです。
但し、そのことが(2)の私の方針に影響が及ぶことは
ありませんので、(2)についてはそのままで
問題ありません。
No.36312 - 2016/03/23(Wed) 17:03:11