[ 掲示板に戻る ]
記事No.36319に関するスレッドです
★ 回転する円錐 / つちんこ
この問題を教えてください。
No.36319 - 2016/03/24(Thu) 15:34:06
☆ Re: 回転する円錐 / ヨッシー
(1)
Ｄは図のような軌跡になります。

No.36322 - 2016/03/24(Thu) 17:11:50
☆ Re: 回転する円錐 / つちんこ
分かりやすい図の例示、ありがとうございます。

具体的な解法はどうなるのしょうか？
No.36324 - 2016/03/24(Thu) 21:52:16
☆ Re: 回転する円錐 / ヨッシー
（続き）
平面Ｐをｘｙ平面とし、頂点を固定した点を原点、
Ａが最初に(1,0,0) あるものとします。
円錐が平面Ｐをθだけ回転した（接している母線がｘ軸とθをなす）ときの
点Ａの位置を次のように求めます。
ｙｚ平面上に中心（0,0,1/2) 半径1/2 の円を描き、点(0,0,0) が
この円に沿って、2θ回転した点をＡ1とします。
Ａ1 をｙ軸を中心に30°回転した点をＡ2 とします。
Ａ2 をｘ軸方向に１移動した点をＡ3 とします。
Ａ3 をｚ軸を中心にθ回転した点 Ａ4 が求める点です。
これらの点の座標は、
　Ａ1：(0, −(1/2)sin(2θ), 1/2−(1/2)cos(2θ))
　Ａ2：(−1/4＋(1/4)cos(2θ), −(1/2)sin(2θ), √3/4−(√3/4)cos(2θ))
　Ａ3：(3/4＋(1/4)cos(2θ), −(1/2)sin(2θ), √3/4−(√3/4)cos(2θ))
　Ａ4：(x,y,z)とおくと、
　ｘ＝{3/4＋(1/4)cos(2θ)}cosθ＋(1/2)sin(2θ)sinθ
　ｙ＝{3/4＋(1/4)cos(2θ)}sinθ−(1/2)sin(2θ)cosθ
　ｚ＝√3/4−(√3/4)cos(2θ)
このＡ4 の座標において、ｘ＞０，ｙ＞０ の範囲において、４ｘｙ が断面の面積となります。
No.36327 - 2016/03/24(Thu) 23:44:17
☆ Re: 回転する円錐 / t
https://m.youtube.com/watch?list=PLrN2HSNdl6vpO_B56506qxkx5nPJhJn3H&v=N6qwWlRwruM
この問題の(2)の類題が解説されています。
No.36347 - 2016/03/26(Sat) 09:46:36
☆ Re: 回転する円錐 / つちんこ
うーん、xやyをθで表すところまではなんとか分かりましたが、その後の計算があまりピンと来ません。すみません。
4xyの最大値はどう出すのでしょう？
No.36356 - 2016/03/26(Sat) 21:16:54
☆ Re: 回転する円錐 / つちんこ
4xyの最大値じゃなく、4xyが最大になるθでした。ごめんなさい。
No.36359 - 2016/03/26(Sat) 23:16:51
☆ Re: 回転する円錐 / ヨッシー
断面積の 1/4 である ｘｙをｚ＝ｔを用いて表すことにします。
　ｘｙ＝{3/4＋(1/4)cos(2θ)}^2sinθcosθ
　　　　＋(1/2)sin(2θ){3/4＋(1/4)cos(2θ)}(sin^2θ−cos^2θ)
　　　　−(1/4)sin^2(2θ)sinθcosθ
　　　＝(1/2){3/4＋(1/4)cos(2θ)}^2・sin(2θ)
　　　　−(1/2)sin(2θ){3/4＋(1/4)cos(2θ)}cos(2θ)
　　　　−(1/8)sin^3(2θ)
ここで、
　cos(2θ)＝1−4t/√3
　sin(2θ)＝√(8t/√3−16t^2/3)
であるので、
　ｘｙ＝(1/2)(1−t/√3)^2・√(8t/√3−16t^2/3)
　　　　−(1/2)√(8t/√3−16t^2/3)・(1−t/√3)(1−4t/√3)
　　　　−(t/√3−2t^2/3)√(8t/√3−16t^2/3)
　　　＝(t^2/6＋t/2√3)√(8t/√3−16t^2/3)
f(t)＝(t^2/6＋t/2√3)√(8t/√3−16t^2/3) とおくと
　f'(t)＝(t/3＋1/2√3)√(8t/√3−16t^2/3)＋(t^2/6＋t/2√3)(4/√3−16t/3)/√(8t/√3−16t^2/3)
　　　＝０
これを満たすのは
　ｔ＝(√51−√3)/8

計算が合っているかは自信ありません。
No.36366 - 2016/03/27(Sun) 08:10:28