[ 掲示板に戻る ]
記事No.36372に関するスレッドです
★ 空間図形 / 北村
(3)が解りません。よろしくお願いします。
No.36372 - 2016/03/27(Sun) 19:32:15
☆ Re: 空間図形 / X
↑AB=↑b,↑AC=↑c,↑AD=↑d
AL:LK=k:(1-k) (0＜k＜1 (P))
と置くと条件から
↑AL=k(↑b+↑d)/2 (A)
↑AJ=(↑c+↑d)/2 (B)
↑AL・↑JL=0 (C)
↑b・↑c=↑c・↑d=↑d・↑b=8 (D)
|↑b|=|↑c|=|↑d|=4 (E)
(C)より
↑AL・(↑AL-↑AJ)=0
(A)(B)を代入して
|k(↑b+↑d)/2|^2-(k/4)(↑b+↑d)・(↑c+↑d)=0
左辺を展開して(D)(E)を代入すると
(1/4)(32+16)k^2-(k/4)(16+24)=0
(P)より
k=5/6
∴△ABD,△BDLの面積比は線分AK、LKの長さの比に等しく
AK:LK=1:(1-k)=1:1/6
一方、△ABD,△BDLを正四面体ABCD,LBJDの底面と見た
ときの高さの比は辺CDと辺JCとの長さの比に等しく
2:1=1:1/2
よって正四面体LBJDの体積は正四面体ABCDの体積の
(1/6)・(1/2)=1/12[倍]

注)
上記ではAK:LKをベクトルを使って求めていますが
以下のようにベクトルを使わずに求める方針もあります。

点Jの△ABDへの正射影をJ'とします。
すると条件から
J'L⊥AK (A)'
一方、条件から点Cの△ABDへの正射影は△ABDの重心となるので
これをGとすると、点J'は線分GD上にあり
GJ':J'D=CJ:JD=1:1 (B)'
更に点Kは正三角形である△ABDの一つの辺BDの中点ですので
BD⊥AK (C)'
(A)'(C)'より
J'L//BD
よって(B)'から
GL=LK
となるので
LK=(LK/GK)(GK/AK)AK=(1/2)(1/3)AK
=(1/6)AK
従って
AK:LK=1:1/6
No.36373 - 2016/03/27(Sun) 20:14:16
☆ Re: 空間図形 / ヨッシー
別解です。単位は省略しています。
(3)

△ＡＫＪにおいて、ＪＫ＝２，ＡＫ＝ＡＪ＝2√3
ＪＫの中点をＭとすると、△ＡＭＪにおける三平方の定理より
　ＡＭ＝√11
よって、△ＡＫＪの面積は
　2×√11÷2＝√11
一方、ＡＫを底辺とすると、高さＪＬは
　ＪＬ＝√11÷2√3×2＝√(11/3)
△ＪＫＬにおける三平方の定理より
　ＬＫ＝√(1/3)
三角すいＬＢＪＤは、正四面体ＡＢＣＤとくらべて
底面△ＢＪＤは△ＢＣＤの 1/2倍
高さの比は ＬＫ：ＡＫ＝１：６
よって、三角すいＬＢＪＤの体積は、正四面体ＡＢＣＤの体積の
　1/2×1/6＝1/12(倍)
No.36374 - 2016/03/27(Sun) 21:00:56