[
掲示板に戻る
]
記事No.36736に関するスレッドです
★
漸化式の極限
/ Mic
引用
漸化式の極限の問題ですが
(1)以降解けませんでした
よろしくお願いします
No.36736 - 2016/04/28(Thu) 16:32:37
☆
Re: 漸化式の極限
/ IT
引用
まずは,y=(√2)^x と y=x のグラフを描いて、位置関係などを調べておくと見通しがいいです。
(1) 略解
a[n]＜2 のとき a[n+1]＜2
なぜなら a[n+1]＝(√2)^a[n]＜(√2)^2 ＝2
よってa[1]＜2 のとき 任意の自然数nについて a[n]＜2
x＜2 で 2 - (√2)^x≦(log2)(2-x) なので
0＜2 - a[n+1]＝2 - (√2)^a[n]≦(log2)(2-a[n])≦{(log2)^n}(2-a[1]) →0 (n →∞）
よってlim[n →∞]a[n]＝2
No.36738 - 2016/04/28(Thu) 21:58:20
☆
Re: 漸化式の極限
/ IT
引用
(2) 略解
a[n]＞4 のとき a[n+1]＞4
よってa[1]＞4 のとき 任意の自然数nについて a[n]＞4
x＞4 で (√2)^x-4 ≧(log4)(x-4) なので
a[n+1]-4 ＝ (√2)^a[n]-4≧(log4)(a[n]-4)≧{(log4)^n}(a[1]-4) →∞ (n →∞）
No.36739 - 2016/04/28(Thu) 22:28:01
☆
Re: 漸化式の極限
/ IT
引用
(3) 略解
a[n]＞2ならば a[n+1]=(√2)^a[n]＞(√2)^2＝2
a[1]＞2なので 任意の自然数nについて a[n]＞2
2＜x＜4のとき (√2)^x＜x
よって2＜a[n]＜4のとき a[n+1]＝(√2)^a[n]＜a[n]
2＜a[1]＜4 なので
任意の自然数nについてa[n+1]＜a[n]＜4
したがって a[n]は単調減少…(ア)で 2＜a[n]＜4 …(イ)
s=(a[2]-2)/(a[1]-2) とおくと(ア)(イ)より 0＜s＜1
y=(√2)^x-2のグラフは下に凸で、直線y=s(x-2) とx=2,x=a[1]で交わるので
2＜x＜a[1]で 0＜(√2)^x-2＜s(x-2)
よって 0＜a[n+1]-2＝(√2)^a[n]-2＜s(a[n]-2)
よって a[n]-2 →0 (n →∞）
No.36741 - 2016/04/28(Thu) 23:29:26
☆
Re: 漸化式の極限
/ IT
引用
(3) 別解
a[n]＞2ならば a[n+1]=(√2)^a[n]＞(√2)^2＝2
a[1]＞2なので 任意の自然数nについて a[n]＞2
2＜x＜4のとき (√2)^x＜x
よって2＜a[n]＜4のとき a[n+1]＝(√2)^a[n]＜a[n]
2＜a[1]＜4 なので
任意の自然数nについてa[n+1]＜a[n]＜4
したがって a[n]は単調減少で 2＜a[n]＜4
よって {a[n]}は収束、その極限値をaとすると
lima[n+1]=lim(√2)^a[n] より a=(√2)^a
よってa=2,4 a≦a[1]＜4 なので a=2
No.36742 - 2016/04/29(Fri) 01:04:38
☆
Re: 漸化式の極限
/ Mic
引用
大変勉強になりました。
ありがとうございます。
No.36743 - 2016/04/29(Fri) 02:21:09
