こちらの問題です。なぜbn=1/an-2と置いたのかが分かりません。
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No.36764 - 2016/05/01(Sun) 08:47:45
| ☆ Re: 数列 / ast | | | (計算自体は高校知識で出来るけれども) 知識背景まで知りたい場合, 大学初年度級の線型代数の知識が必要なので, ふつうは "how to" として天下り式に与えますし, 受験で出題されたとしても小問の誘導付きでしか出ません. なので, "そのように置く理由" を追及するのは恐らく不毛でしょう. (他にも極限の計算とか, 受験数学では割とそういうのが所々であります.)
それでももし興味があるなら, (数 3 だか C だかでやるかもしれない範囲の行列の知識内?でなるべく計算法レベルの認識で読める程度に) 雑にさらっと書いておくと,
[x : y] = [z : w] を適当な定数 c(≠0) で x=cz, y= cw と書けるという意味の記号として,
[a[n+1] : 1] = A*[a[n] : 1] (A=((-1,4),(-1,3)))
の形 (厳密には, [x : y] は縦ベクトル, A=((a,b),(c,d)) は行ベクトル毎に書いた 2 行 2 列の行列) の式を計算してみると,
[a[n+1] : 1] = [4-a[n] : 3-a[n]] = [(4-a[n])/(3-a[n]) : 1]
なので (a[n]≠3である限り), 分数型の漸化式を行列を掛ける操作として計算できるようになります. 正則行列 P を使って P^(-1)*A*P (=D) が対角行列か三角行列になれば D^n は容易に計算できて
P*[a[n+1] : 1] = D^(n-1)*P*[a[1] : 1].
ここで実は P*[a[n] : 1] = [1 : 2-a[n]] です. なので, b[n]=1/(2-a[n]) と置くことに意味があります.
なお, 通常の二項間漸化式 a[n+1] = pa[n]+q の場合も (この場合は普通の座標, ただし縦ベクトルで書く, で)
(a[n+1], 1) = ((p,q),(0,1))*(a[n],1)
の形にして A = ((p,q),(0,1)) を対角化 (重根の場合は三角化) する (そして, 掛ける行列が対角行列になることと等比数列の漸化式であることが同じ) というのが特性方程式 (実は, 行列の固有方程式) を考える方法の理論的背景なので, 分数型の場合も計算レベルでは高校で習う特性方程式の方法と同等の説明ができる, というのが IT さんが引用されているようなサイトの内容ということになります.
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No.36782 - 2016/05/02(Mon) 22:22:57 |
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