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記事No.36770に関するスレッドです
★ ベクトル空間 / Mic
線形代数のベクトル空間の問題です。
よろしくお願いします
No.36770 - 2016/05/01(Sun) 15:17:49
☆ Re: ベクトル空間 / IT
L={(x,(3/2)x+1/2,2x+1)|x∈R} になります。
・これは、２点(0,1/2,1),(1,2,3) を通る直線です。

・また、ベクトル空間は必ず(0,0,0) を含みます。

以上からVが求められると思います。
No.36771 - 2016/05/01(Sun) 17:31:38
☆ Re: ベクトル空間 / Mic
ありがとうございます
基底はt(2,3,4)となりましたが合っているでしょうか
No.36772 - 2016/05/01(Sun) 23:55:32
☆ Re: ベクトル空間 / IT
> 基底はt(2,3,4)となりましたが合っているでしょうか
間違っていると思います。
「基底はt(2,3,4)」とは、どういう意味ですか？tは何ですか？
基底の意味をお使いのテキストで確認されることをお勧めします。
No.36773 - 2016/05/02(Mon) 01:34:49
☆ Re: ベクトル空間 / Mic
すいません
tはただ転置を表したかっただけでした
No.36774 - 2016/05/02(Mon) 01:42:33
☆ Re: ベクトル空間 / IT
> tはただ転置を表したかっただけでした

転置してはいけないと思いますが？
どういう考えで基底は(2,3,4)を出されましたか？

お使いのテキスト（あるいは講義ノートなど）では、「基底」は、どう定義（説明）されていますか？
No.36780 - 2016/05/02(Mon) 19:48:32
☆ Re: ベクトル空間 / ast
横から割り込み失礼します.

> tはただ転置を表したかっただけでした
IT さんもお書きですが, もともとの問題文ではR^3のベクトルを横ベクトルで与えているので, 転置は必要ありませんね. 転置してしまってはむしろ誤りということになるでしょう.

また, 問題文を注意深く読んでください, 「L を**含む**」と書いてあり, L 自身が部分ベクトル空間になるかどうかを問うていません. 実際 L は原点を通らない直線 (一次元部分アフィン空間) であって, 部分ベクトル空間になりません. Mic さんが求めた (2,3,4) は恐らく L の方向ベクトルなのでしょう, それ自体は重要なベクトルではありますが, L は原点 (0,0,0) を含まないし, (2,3,4) の張る一次元部分ベクトル空間は L にはなりません. L と原点を含む平面を考え (原点を含むようにするにはどのようなベクトルが足りないか, ということです), その基底を求めましょう. というあたりで IT さんの最初のレス No.36771 へ戻ります.
No.36783 - 2016/05/02(Mon) 22:53:49
☆ Re: ベクトル空間 / Mic
ITさん、astさん、ありがとうございます。

ベクトル空間Vの元がVの基底であるとは、これが一次独立かつ生成系になることでした。
astさんの仰るとおり私が求めていたのは方向ベクトルのようです。

(0,0,0)(1,2,3)(0,1/2,1)を含む平面の方程式を考えその基底を求めればよいということでよろしいでしょうか。
平面の方程式はx-2y+z=0になりますから、これより基底は(2,1,0)(-1,0,1)になりました。どうでしょうか
No.36786 - 2016/05/03(Tue) 15:32:34
☆ Re: ベクトル空間 / IT
> これより基底は(2,1,0)(-1,0,1)になりました。どうでしょうか

合っていると思いますが、求める過程とこれが条件を満たすことの確認が重要です。

なお、(0,1/2,1),(1,2,3) も基底になると思いますので、確認してみてください。
No.36788 - 2016/05/03(Tue) 20:34:55
☆ Re: ベクトル空間 / ast
既に蛇足だとは思いますが, たぶん出題の想定としては, 平面の方程式を求めてからその基底ベクトルを探すというのは迂遠で, V は原点から L 上の一点 (1,2,3) へ向かうベクトル (1,2,3) と L の方向ベクトル (2,3,4) の張る平面 (x,y,z)=r(1,2,3)+s(2,3,4) (r,s は任意の実数) と捉えて答えるのが最も素直なのではないかと思います.

# L の式を見てすぐに通る点 (1,2,3) と方向ベクトル (2,3,4) はわかる.
# 原点は L 上に無いので, L 上の一点と結ぶベクトルは L の方向ベクトルと明らかに一次独立.
# その二つの張る平面は (作り方から) 明らかに原点 (r=s=0) と L (r=1) を含む.
No.36822 - 2016/05/07(Sat) 01:42:11