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記事No.36778に関するスレッドです
★ 級数 / あん
証明と無限級数の発散を示す問題ですが
(1)から分かりませんでした。
解説していただけると嬉しいです。
No.36778 - 2016/05/02(Mon) 11:30:39
☆ Re: 級数 / X
(1)
問題文に間違いがあります。
n≧2
という条件が更につきますね。
で、証明ですが
(左辺)=Σ[l=1〜2^(n-1)]1/{2^(n-1)+l}
＞Σ[l=1〜2^(n-1)]1/{2^(n-1)+2^(n-1)}
={2^(n-1)}/{2^(n-1)+2^(n-1)}=1/2=(右辺)

(2)
(1)の結果より
Σ[k=2〜m]Σ[l=1〜2^(k-1)]1/{2^(k-1)+l}＞Σ[k=2〜m]1/2
これより
Σ[k=2〜2^m]1/k＞(1/2)(m-1)
Σ[k=1〜2^m]1/k＞(1/2)(m-1)+1=(1/2)(m+1)
よって
n≧2^m (A)
なる自然数nに対し
Σ[k=1〜n]1/k＞(1/2)(m+1) (B)
ここでm→∞とすると
((A)の右辺)→∞
((B)の右辺)→∞
よって
lim[n→∞]Σ[k=1〜n]1/k=∞
となるので
Σ[n=1〜∞]1/n=∞
No.36779 - 2016/05/02(Mon) 14:48:22
☆ Re: 級数 / あん
解説ありがとうございました
No.36781 - 2016/05/02(Mon) 20:30:15