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記事No.36877に関するスレッドです
★ (No Subject) / 濱さん
(2)の問題を一部変更して、「ｃを…定数とする」の部分を削除して一般的にQ（x,y,z）で考えてみました。

次のように考えて見たのですが、結果が、球の表面と内部になってしまいおかしいです。

どこが間違っているのか教えてください。
No.36877 - 2016/05/10(Tue) 20:37:34
☆ Re: / X
「(2)の問題」がどこにもありません。
No.36883 - 2016/05/10(Tue) 21:23:10
☆ Re: / 濱さん
「濱さん」の横の家のマークです。
No.36893 - 2016/05/10(Tue) 22:29:54
☆ Re: / X
失礼しました。
それで回答ですが、
>>cosθ≦6/√(x^2+y^2+z^2)
と
>>3/√10=cosθ'≦cosθ≦1
まではよいとしてここから
3/√10≦6/√(x^2+y^2+z^2)
とするのは間違っています。

例えば
a≦xかつb≦x≦c
のとき、
(もしこれを満たすxが存在するのであれば)
max{a,b}≦x≦c
とはなりますが
a≦b
とは限りませんよね。
それと同じことです。
No.36903 - 2016/05/11(Wed) 06:09:02
☆ Re: / 濱さん
お返事ありがとうございます。

Xさんのおっしゃられる「例えば」以降の内容は理解できるのですが、それが今回の問題とどう結び付いてくるのかがイマイチわかりません。
No.36905 - 2016/05/11(Wed) 17:48:01
☆ Re: / X
ごめんなさい。頓珍漢な回答をしていました。

不等号の比較以前に不等式の立て方を間違えていますね。
>>0≦OQcosθ≦6
が誤りです。
0≦OQ/cosθ≦6
としないと円錐内に収まりません。
No.36909 - 2016/05/11(Wed) 19:19:25
☆ Re: / 濱さん
わかりません。なぜですか？
No.36912 - 2016/05/11(Wed) 20:07:45
☆ Re: / X
話が二転三転してごめんなさい。
こちらがまだ間違っていたようです。
>>0≦OQcosθ≦6
はこれで問題ありません。


それで濱さんの解答の誤っている点ですが、cosθに対する条件が足りません。
条件から
↑OA・↑OQ=|↑OA||↑OQ|cosθ
ですので
(3√2)(y+z)=6√(x^2+y^2+z^2)cosθ
∴cosθ=(y+z)/√{2(x^2+y^2+z^2)}
これと
>>3/√10≦cosθ≦1
>>0≦OQcosθ≦6
により
3/√10≦(y+z)/√{2(x^2+y^2+z^2)}≦1 (A)
0≦(y+z)/√2≦6 (B)
が求めるx,y,zに対する条件式になります。


注)
(A)は点Qが円錐の側面よりも内側にあることに対応しています。
これは円錐の側面上に点Qがあるとき
↑OA・↑OQ=|↑OA||↑OQ|cosθ'
∴(3√2)(y+z)={6√(x^2+y^2+z^2)}(3/√10)
整理して
(y+z)/√{2(x^2+y^2+z^2)}=3/√10 (C)
これが円錐の側面の方程式であることから考えてみて下さい。
((C)は裾野が無限に長い二つの円錐の側面を頂点が原点で重なるように
向かい合わせに配置してできる図形全体を表しています。)
又、(A)の右辺の等号が成立するとき
(y+z)/√{2(x^2+y^2+z^2)}=1
両辺を二乗して整理すると、最終的に直線OAの方程式である
x=0かつy-z=0
が導かれます。

(B)は点Qが円錐の底面よりも内側にあることに対応しています。
これは円錐の底面を含む平面の方程式が
(3√2)(y-3√2)+(3√2)(z-3√2)=0
整理して
y+z=6√2 (D)
となることと(B)とを比較して考えてみて下さい。
((B)は
0≦y+z≦6√2
つまり平面(D)と平面
y+z=0
で挟まれた領域を示しています。)

(大筋の考え方は以上の通りですが、細かいところで計算を間違えているかもしれません。
間違っていたらごめんなさい。)
No.36921 - 2016/05/12(Thu) 00:48:45
☆ Re: / 濱さん
丁寧なご回答ありがとうございます。分かりやすい解説で納得することができました。

最後に一つだけ質問があります。
「 ((C)は裾野が無限に長い二つの円錐の側面を頂点が原点で重なるように 向かい合わせに配置してできる図形全体を表しています。)」の部分ですが、cosθ’が正なので向かい合う円錐が２つできることはないのではないですか？
No.36928 - 2016/05/12(Thu) 19:34:04
☆ Re: / X
確かに(C)の形であればその通りです。
ですが(C)の形では美しくないので
二乗して整理することをもし考えると、
前述の「二つの円錐が向かい合った形全体」
の立体になります。
No.36930 - 2016/05/12(Thu) 19:46:19
☆ Re: / 濱さん
ありがとうございました。
No.36946 - 2016/05/13(Fri) 19:05:49