[ 掲示板に戻る ]
記事No.3696に関するスレッドです
★ ひずめ形の体積について / 馬蹄
円柱におけるひずめ形体積の求め方が判りません。
切断角度は60°です。参考文献で円中心より半径以上の箇所で切断した場合の公式はあるみたいです。（添付ファイル参照願います。）
御教示頂きたいのは、中心点ＯよりもＡ側で切断した場合の体積の公式が参考公式では解けませんので解説の程、よろしくお願い致します。
No.3682 - 2008/11/06(Thu) 15:04:40
☆ Re: ひずめ形の体積について / X
添付ファイルが載っていないようですので、
掲載をお願いします。
文章だけでは解りませんので。
No.3683 - 2008/11/06(Thu) 16:13:08
☆ Re: ひずめ形の体積について / 馬蹄
申し訳ありません。添付ファイルの掲載したつもりだったのですがいすいません。
では、再度　ご質問いたします。
円柱におけるひずめ形体積の求め方が判りません。
切断角度は60°です。参考文献で円中心より半径以上の箇所で切断した場合の公式はあるみたいです。（添付ファイル参照願います。）
御教示頂きたいのは、中心点ＯよりもＡ側で切断した場合の体積の公式が参考公式では解けませんので解説の程、よろしくお願い致します。
No.3696 - 2008/11/07(Fri) 01:59:48
☆ Re: ひずめ形の体積について / angel
いえ、添付の式そのままで、CがOA内部にある場合も表現できます。
が、まずは「公式」なんていう考えは捨てることです。この式はあくまで計算の結果に過ぎません。

先に、添付の式を整理しなおしてみましょう。

切り口の傾き60°をαと置くと、h/b=tanα
残りはθで統一することを考えると、a=rsinθ, r-b=rcosθ

V=1/3・tanα・{ rsinθ(3r^2-(rsinθ)^2) + 3r^2(-rcosθ)θ }
=1/3・tanα・r^3・( 3sinθ-(sinθ)^3-3θcosθ )
=tanα・r^3 ( sinθ - 1/3・(sinθ)^3 - θcosθ )

この形も、θがπ/2よりも大きいか、小さいかに関わらず成立します。
No.3708 - 2008/11/08(Sat) 13:00:31
☆ Re: ひずめ形の体積について / angel
さて、肝心の計算方法ですが、ACを軸として垂直に切断した面の面積を積分するとして考えます。
※θ=π/2であれば、BDを軸とした方が楽なのですが…
軸上Oからの距離(符号込み、Aの方が正)を x で表してみます。
点Aでは x=r、点Cでは x=rcosθ ( θ>π/2 であれば負 ) となります。

で、断面は、BDに平行な辺が 2√(r^2-x^2)、高さが tanα・(x-rcosθ) の長方形となります。
そのため、
V=∫[rcosθ,r] tanα・(x-rcosθ)・2√(r^2-x^2) dx

rを一々書くのは面倒なので、x=rt (その時 dx=rdt) で置換しましょうか。

V=∫[cosθ,1] tanα・(rt-rcosθ)・2√(r-(rt)^2) rdt
= tanα・r^3 ∫[cosθ,1] 2(t-cosθ)・√(1-t^2) dt
= tanα・r^3 ( ∫[cosθ,1] 2t√(1-t^2)dt - cosθ∫[cosθ,1] 2√(1-t^2) dt )

括弧内の最初の∫は f'・f^(1/2) の形になりますので、そのまま積分できます。値は 2/3・(sinθ)^3 です。
後の∫は置換積分を使っても良いですが…、円を途中で切った場合の面積そのものですから、θ-sinθcosθと計算できます。
これらを当てはめれば、上と同じ値になることが分かります。
No.3709 - 2008/11/08(Sat) 13:50:03
☆ Re: ひずめ形の体積について / angel
後は余談ですが、典型的な状況での値を計算してみて、整合性が取れているかどうかを確認すると、解答の精度が上がるのでお勧めです。
典型と考えられるのは、

θ=0 の場合 … 明らかに V=0 となるため O.K.
θ=π の場合 … 円柱の半分、1/2・( πr^2・(2rtanα) ) と一致するため O.K.
θ=π/2 の場合 … BDを軸とした積分計算 ∫[-r,r] 1/2・tanα・( √(r^2-x^2) )^2 dx = 2/3・tanα・r^3 と一致するため O.K.

ということで、全て整合性が取れているので、問題はなさそうだ、と分かります。
No.3710 - 2008/11/08(Sat) 14:14:29
☆ Re: ひずめ形の体積について / 馬蹄
ａｎｇｅｌさんご丁寧な解説ありがとうございました。
ついつい公式に頼りがちで　こうして解説していただけると
数学の基本を参考に解を導き出す事の重要性を感じます。
反省反省です。本当にありがとうございました。
No.3721 - 2008/11/08(Sat) 19:28:57