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記事No.37701に関するスレッドです
★ 高３です / くぷと
(1)は分かったのですが、(2)がちんぷんかんぷんです。区分求積法っぽいことをしようとしたのですが、わかりませんでした。
No.37701 - 2016/06/26(Sun) 23:53:18
☆ Re: 高３です / X
(1)
条件から
a[k]={n/(n+1)}a[k-1]
a[1]=n/(n+1)
∴a[k]={n/(n+1)}{n/(n+1)}^(k-1)
={n/(n+1)}^k

(2)
与式の形に惑わされますが、これには区分求積法を使いません。
(1)の結果から
(1/n)Σ[k=1〜n]a[k]^3=Σ[k=1〜n]{n/(n+1)}^(3k)
=(1/n)Σ[k=1〜n]{{n/(n+1)}^3}{{n/(n+1)}^3}^(k-1)
=(1/n){{n/(n+1)}^3}{1-{n/(n+1)}^(3n)}/{1-{n/(n+1)}^3}
(つまり、kは消えてしまいます。kに対してnは定数であることに注意。)
=(n^2){1-{n/(n+1)}^(3n)}/{(n+1)^3-n^3}
=(n^2){1-1/(1+1/n)^(3n)}/{(n+1)^2+(n+1)n+n^2}
={1-1/(1+1/n)^(3n)}/{(1+1/n)^2+(1+1/n)+1}
={1-{1/(1+1/n)^n}^3}/{(1+1/n)^2+2+1/n}
よって
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]a[k]^3=(1/3)(1-1/e^3)
となります。
No.37702 - 2016/06/27(Mon) 01:27:36