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記事No.37924に関するスレッドです
★ (No Subject) / KU
この問題の解答の9,10,11行目のつながりがわかりません。
9行目の式は何のために書かれているのでしょうか？
No.37924 - 2016/07/12(Tue) 19:41:35
☆ Re: / KU
解答です
No.37925 - 2016/07/12(Tue) 19:42:12
☆ Re: / X
(*)のR(x)を具体的な別の式で表すためです。
No.37926 - 2016/07/12(Tue) 19:50:56
☆ Re: / KU
なんのためにR(x)を具体的な別の式で表しているのでしょうか？
この後の解答でR(x)が使われていないような気がするのですが…
No.37928 - 2016/07/12(Tue) 21:22:48
☆ Re: / X
使われています。
9行目の式を(*)に代入して整理したものが
11行目の式です。
No.37933 - 2016/07/13(Wed) 06:00:58
☆ Re: / 黄桃
確かに、この解答はちょっと微妙ですね。

(P(x))^2=(x-α)^2(x-β)^2(S(x))^2 ...(**)
と言ってますが、それなら、これから、直ちに P(x)=±(x-α)(x-β)S(x) がいえます。

(**)は正しいですが、個人的には、この問いだと、(**)をちゃんと証明しないとまずそうな気がします。

(**)を使わずとも以下のように示せるので、(**)を使わないほうが無難だと思います(この本では使ってもいい、という考えなのでしょうが)。

(P(x))^2 はQ(x)で割り切れるからx=αを代入し (P(α))^2=0 より P(α)=0
同様に P(β)=0
したがって、α≠β なら P(x)は (x-α)(x-β)で割り切れるので、P(x)がQ(x)で割り切れないことに矛盾。
よってα=βであり、Q(x)は重解をもつ。
No.37934 - 2016/07/13(Wed) 07:34:13
☆ Re: / KU
黄桃さんの解答の方がスマートですね！

ありがとうございました。
No.37938 - 2016/07/13(Wed) 09:28:33
☆ Re: / IT
たしかに、引用されている解答は中途半端な感じがします。（京大理系数学２５ヵ年の2006年第１問の解答のようです）

現行の教科書の一つを確認しましたが
「整式の因数分解の一意性」には触れられてないので証明なしに使うのは危険ですね。
「素因数分解の一意性」は、「成り立つことが知られている。」として証明なしで記載がありますが
No.37941 - 2016/07/13(Wed) 12:40:08