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記事No.38057に関するスレッドです
★ 式変形 / さくらもち
いつもお世話になってます

積分の計算問題なのですが、解答を見ても途中計算がよくわかりません
四角で囲ったところ(因数分解?と部分分数分解?のやり方)を教えてください

よろしくお願いします
No.38057 - 2016/07/20(Wed) 17:57:33
☆ 式変形 / さくらもち
一応問題も載せておきます
No.38058 - 2016/07/20(Wed) 18:01:37
☆ Re: 式変形 / X
部分分数分解をするにはまず分母を因数分解
しなければなりませんね。
分母である
x^3-3x-2
は三次式ですので
f(x)=x^3-3x-2
と置いて、適当なxの値aについて
f(a)=0
となるようなものを見つけて、因数定理を
使うのが基本です。
ただ、この問題については
x^3-3x-2=x^3+(-1)^3+(-1)^3-3・(-1)(-1)x
と変形すれば、公式
a^3+b^3+c-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
が適用できます。

次に分母が因数分解できた後の部分分数分解について。
分母に(x+1)^2というように()^2の形の因数がありますので
(6x+5)/{(x-2)(x+1)^2}=a/(x-2)+b/(x+1)+c/(x+1)^2
の形に部分分数分解できると仮定します。
ここから右辺を通分して分子を展開し、左辺の分子と
係数を比較します。
そこからa,b,cについての連立方程式を立てて解きます。
No.38059 - 2016/07/20(Wed) 19:25:27
☆ Re: 式変形 / さくらもち
Xさん

丁寧に教えてくださりありがとうございます!!
因数定理の存在をすっかり忘れていたので本当に助かりました

質問を重ねてしまって申し訳ないんですが、部分分数分解後の1/(3(x+1)^2)の積分は何をしているのでしょうか

積分区間が変わっているから置換積分かなと一瞬思ったのですが、そうでもないし
部分積分では区間は変わらないはずだし…

もしよろしければ最後まで教えていただきたいです
お時間あったらよろしくお願いします!!
No.38060 - 2016/07/20(Wed) 22:18:16
☆ Re: 式変形 / ast
> 部分分数分解後の1/(3(x+1)^2)の積分は何をしているのでしょうか

それはコピペミスの類いで付いたただのゴミだと思います (丸括弧も対応取れてないし). ついでに積分後の第二項も誤植で log が抜けてると思います.

根本的には模範解答を誤植した人が悪いという話ではあるとは思うんですが, しかし解答の記述を理解しようとすることと同じかそれ以上に, 自分で実際に解き進めたらどうなるかというのは常に意識してみるべきことであるように思います. 本件でいうと, 部分分数分解まで終わってしまえば, 1/(x-2) や 1/(x+1) や 1/(x+1)^2 は普通に原始函数が求まるので, 自分で計算してみればそんな余分なものが吐き出される余地があるかどうかも, それなりに見当がつくのではないでしょうか.
No.38061 - 2016/07/21(Thu) 00:51:59