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記事No.38064に関するスレッドです
★ 収束判定 / らぐ
コーシーの収束判定法を用いて,次の正項級数の収束,発散を調べよ.ただし,k>0,l>0は定数である.

Σ(n=1→∞){n^k/(n^k+1)}^n^(k+l+1)

以下が僕の解答です.

a_n={n^k/(n^k+1)}^n^(k+l+1)とおく

lim(n→∞)(a_n)^(1/n)=lim(n→∞){n^k/(n^k+1)}^n^(k+l)

lim(n→∞)(a_n)^(1/n)=lim(n→∞){1/(1+1/n^k)}^n^(k+l)

ここでお手上げです.厄介なのはn^lの部分なのですがどうすればいいでしょうか?

ちなみに模範解答ではρ=1/e^lとなり収束する
となっています.
No.38043 - 2016/07/20(Wed) 00:00:29
☆ Re: 収束判定 / IT
最初の式は、{n^k/(n^k+1)}^{n^(k+l+1)} ですか？

粗く、上から押さえれば良いのでは？
No.38053 - 2016/07/20(Wed) 07:28:30
☆ Re: 収束判定 / らぐ
数式が分かりづらくて申し訳ないです
(4)です

上から押さえる…ですか
参考になります

ρの値も求めたいのでなるべくこの式でやりたいです
No.38064 - 2016/07/21(Thu) 04:41:03
☆ Re: 収束判定 / IT
> ちなみに模範解答ではρ=1/e^lとなり収束する
これ以外に　解説・解答はないのですか？

1/e^l　より　はるかに小さくなる（０に近づく）と思いますけど
No.38067 - 2016/07/21(Thu) 15:15:43
☆ Re: 収束判定 / らぐ
解答,解説の部分をそのまま書きます.
(4) ρ=1/e^l,収束
とだけしか記載されていません.
もしかして誤植とかでしょうか？
今,サイトを見てきましたがそれらしいことは書かれていませんでした.
No.38069 - 2016/07/21(Thu) 17:51:11
☆ Re: 収束判定 / IT
出典はなんですか？
どのサイトに載っているのですか？

その模範解答のρが何者か明確でないので確実ではないですが
例えば　k=l=1 とすると、その模範解答ではおかしいことが分かる気がしますが　どうでしょうか？
No.38070 - 2016/07/21(Thu) 18:12:12
☆ Re: 収束判定 / らぐ
これは大学で使っている教科書です

「入門講義 微分積分」裳華房 吉村 岩下 著

ρ＝lim(n→∞)(a_n)1/n のことです
No.38100 - 2016/07/22(Fri) 14:35:10
☆ Re: 収束判定 / らぐ
ρ＝lim(n→∞)(a_n)^1/n です
No.38101 - 2016/07/22(Fri) 14:36:10
☆ Re: 収束判定 / らぐ
解答が思いつきましたが,やはり1/e^lはでませんでした.

級数の収束発散を調べる問題は必ずρの値を求めないといけないのですか？
それとも1より大きいかどうかがわかればそれでいいのですか？

それと僕の解答に不備はありますか？
No.38103 - 2016/07/22(Fri) 19:06:49
☆ Re: 収束判定 / IT
> 解答が思いつきましたが,やはり1/e^lはでませんでした.
問題か解答の誤植ではないかと思います。
>
> それとも1より大きいかどうかがわかればそれでいいのですか？
それでいいのでは？

> それと僕の解答に不備はありますか？

４行目に「両辺正より」とありますが
n√a[n] ＞0　であっても
lim[n→∞]n√a[n] は＝0となる可能性があります。
No.38123 - 2016/07/22(Fri) 21:33:23
☆ Re: 収束判定 / らぐ
そうですか.
長々とお付き合いいただきどうもありがとうございました.
No.38124 - 2016/07/22(Fri) 21:42:59
☆ Re: 収束判定 / らぐ
ちなみに先にlogつけてそのあとに極限とればいいのですよね？
No.38125 - 2016/07/22(Fri) 21:53:17
☆ Re: 収束判定 / IT
そうですね。

このテキストは私も持っていますが、演習問題の解答の途中がまったくなしで困りますね。　教師は詳細解答がダウンロードできるようですが。
No.38126 - 2016/07/22(Fri) 22:15:26
☆ Re: 収束判定 / らぐ
もしかしてこの大学の学生さんか教授ですか！？
No.38130 - 2016/07/22(Fri) 23:23:27