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記事No.38079に関するスレッドです
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行列の問題
/ にゃんこ
引用
初めて利用させていただきます。
授業で習っていない問題が出されて解けないです。
解き方分かる方お願いいたします。
(どれか一問だけでも構いませんので)
よろしくお願いします。
No.38079 - 2016/07/21(Thu) 21:02:39
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Re: 行列の問題
/ angel
引用
固有値 ( 固有方程式 )、固有ベクトル、対角化、どこまでご存じなのでしょう…? 流石に授業でやってない状態で課題が出されるとは思えないのですが。
No.38113 - 2016/07/22(Fri) 20:35:49
☆
Re: 行列の問題
/ angel
引用
問題にある、「微分方程式 Ａ=Ａｘ」というのは、「微分方程式 ｘ'=Ａｘ」の誤植だと見て ( そうでないと問題がおかしい ) 一つ解いてみます。
(1)
「固有方程式」det(Ａ-λＥ)=0 すなわち、(-1-λ)・(4-λ)-3・(-2)=0 を解いて λ=1,2 これが「固有値」である。
このλ=1,2 に対して(Ａ-λＥ)ｖ=０ となる「固有ベクトル」ｖは、
λ=1 に対しては、ｖ=(3,2)
λ=2 に対しては、ｖ=(1,1)
が挙げられる
※ｖは実際にはどちらも縦ベクトルです
※実際にＡ-λＥの値を書いて確かめてください
この固有ベクトルを並べた行列Ｒ
Ｒ=(3 1)
(2 1)
に対し、固有値を対角成分に持つ「対角行列」Ｔ
Ｔ=(1 0)
(0 2)
は、ＡＲ=ＲＴ を満たす。すなわち、Ａ=ＲＴＲ^-1 ( 固有値・固有ベクトルによる「対角化」 )
これを微分方程式 ｘ'=Ａｘ に適用し、ｘ'=ＲＴＲ^-1・ｘ
ここから、Ｒ^-1・ｘ'=ＴＲ^-1・ｘ
ｙ=(y1,y2)＝Ｒ^-1・ｘ と置くと、Ｒ^-1・ｘ'=ｙ' であり、ｙ'=Ｔｙ
ここから、y1'=y1, y2'=2y2 この微分方程式をそれぞれ解いて y1=αe^x, y2=βe^(2x)
ｙ=Ｒ^-1・ｘ より、ｘ=Ｒｙ にこの解を適用して、
ｘ=(3αe^x+βe^(2x), 2αe^x+βe^(2x)) ※実際は縦ベクトルです
No.38117 - 2016/07/22(Fri) 20:58:49
