[ 掲示板に戻る ]
記事No.38158に関するスレッドです
★ 重積分の計算(数学,葦にも) / ふなっしー
xyにおける原点を重心とした1 辺の長さが1 の正三角形の辺およびその内部をD とす
るとき、次の重積分を計算しなさい。
∫∫(x^2+y^2)dxdy
D

というものです。

xy平面上の正三角形の配置を、もちろん原点は重心、そして、底辺を下にもってくる方法で計算しようと考えました。(底辺がx軸に平行になる置き方)
これで、正三角形を右と左で半分にして、片方の直角三角形で計算したものを2倍にする、というやり方をやろうと思いましたが、合ってるでしょうか。

立式は
2∫[0→1/2](x^2+y^2)dx×∫[-(√3)/6→(√3)/3]dy
として、計算を進めましたが、答えが違うくなりました。
差しあたり、立式は合ってるのでしょうか？？


補足
答えは√3/48(有理形にすれば)となります。
No.38155 - 2016/07/23(Sat) 14:13:12
☆ Re: 重積分の計算(数学,葦にも) / angel
∬[D]〜dxdy を 2∫[0,1/2](∫[-√3/6,√3/3]〜dy)dx とx,yの範囲が定数区間にできるのは、積分範囲が長方形の場合です。

今回は三角形になっているので、
　∫[xの範囲](∫[xの値に応じたyの範囲]〜dy)dx
とする必要があります。

さしあたり楽に行くなら、x^2+y^2 が回転・反転しても変わらない量であることを利用し、図のような正三角形の1/6の領域で考え、以下のように計算するのが良いと思います。

　∬[D] (x^2+y^2)dxdy
= 6∬[0≦x≦1/2√3,0≦y≦√3・x](x^2+y^2)dxdy
= 6∫[0,1/2√3](∫[0,√3・x](x^2+y^2)dy)dx
No.38158 - 2016/07/23(Sat) 15:02:39
☆ Re: 重積分の計算(数学,葦にも) / ふなっしー
被積分関数に回転対称性が無い場合は、どうすればいいのでしょうか。
No.38160 - 2016/07/23(Sat) 15:16:52
☆ Re: 重積分の計算(数学,葦にも) / X
領域の条件が変わらないのであれば、問題の正三角形の
三点の座標を
((1/√3)cosθ,(1/√3)sinθ)
((1/√3)cos(θ+2π/3),(1/√3)sin(θ+2π/3))
((1/√3)cos(θ-2π/3),(1/√3)sin(θ-2π/3))
(0≦θ≦π)
と置いて、境界線の方程式をθを用いて表し、
さらに領域を頂点を通りy軸に平行な直線で
二分割して、重積分を分けて計算して和を
取ります。
(つまり、最終的な結果は一定値ではなくて
θの式で表されることになります。)
但し、
0≦θ≦π/2
の場合と
π/2≦θ≦π
の場合では、分割に使うy軸平行の直線が通る頂点は
異なりますので、場合分けをして計算しなければ
なりません。
No.38172 - 2016/07/23(Sat) 22:05:20
☆ Re: 重積分の計算(数学,葦にも) / ふなっしー
ありがとうございました！！
No.38173 - 2016/07/23(Sat) 22:14:09