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記事No.38167に関するスレッドです
★ 連続について / sansunigate
問題を自分でときました。理解に誤りがないか、確認をお願いします。

1)
(x,y)=(0,0)の時、0であるとすでにわかっている。
そこで、(x,y)=(0,0)を上の式に代入、すると0/0＝未定義
未定義ということは0ではないので、途切れている、よって不連続

2)
y=xを、代入。g(x) = x^2/2x^2
x=0をg(x)に代入。すると未定義なので、不連続

3)
x=0を、代入。g(y) = 0/y^2 = 0
y=0を、g(y)に代入。ただ、代入と言っても変数がないので、答えは０。よって、「０」という値があるので、連続である

4)
y=x^2を、代入。g(x) = x^2 / x^2 + x^4
x=0を、g(x)に代入。すると、0/0で未定義なので、不連続

よって、答えは３
No.38165 - 2016/07/23(Sat) 19:20:03
☆ Re: 連続について / sansunigate
もう一個、同じような問題です。
これも、解き方／考え方に問題がないか確認をおねがいします

1)
(x,y)=(0,0)のとき、1だとすでにわかっている。そこで、(x,y)=(0,0)を上の式に代入してみる。
すると、0/0で未定義。
１ではないので、不連続。

2)
y=xを、代入。g(x) = x^2+x/2x^2
x=0をg(x)に代入。すると未定義なので、不連続

3)
x=0を、代入。g(y) = 1/y
y=0をg(y)に代入。すると未定義なので、不連続

4)
y=0を、代入。g(x) = x^2/x^2=1
x=0をg(x)に代入。ただ、変数がなく、ただの定数「１」なので、連続。

よって、正しいのは四番
No.38166 - 2016/07/23(Sat) 19:24:26
☆ Re: 連続について / sansunigate
すみません、No.38165の画像を貼り間違えました。正しくはこの投稿に貼り付けてある問題でした。




> 問題を自分でときました。理解に誤りがないか、確認をお願いします。
>
> 1)
> (x,y)=(0,0)の時、0であるとすでにわかっている。
> そこで、(x,y)=(0,0)を上の式に代入、すると0/0＝未定義
> 未定義ということは0ではないので、途切れている、よって不連続
>
> 2)
> y=xを、代入。g(x) = x^2/2x^2
> x=0をg(x)に代入。すると未定義なので、不連続
>
> 3)
> x=0を、代入。g(y) = 0/y^2 = 0
> y=0を、g(y)に代入。ただ、代入と言っても変数がないので、答えは０。よって、「０」という値があるので、連続である
>
> 4)
> y=x^2を、代入。g(x) = x^2 / x^2 + x^4
> x=0を、g(x)に代入。すると、0/0で未定義なので、不連続
>
> よって、答えは３
No.38167 - 2016/07/23(Sat) 19:27:09
☆ Re: 連続について / X
最終的な答えに問題はありませんが、そこまでに至る過程が
全て×です。
(2)(4)では計算も足りません(g(x).g(y)の約分が足らない)
が、(1)〜(4)全てにおいて、極限と関数の連続の定義
との関係がが全く理解できていません。

例えば
g(x)=(sinx)/x (x≠0)
g(0)=1
なるg(x)を考えるとき、 sansunigateさんの
考え方だと
lim[x→0]g(x)
は
g(x)=(sinx)/x
にx=0を代入して0/0となり、未定義だから
g(x)はx=0で連続ではない。
となりますが、これは誤りです。
よく知られているように
lim[x→0](sinx)/x=1
ですので
lim[x→0]g(x)=g(0)
が成立します。よって
g(x)はx=0で連続
です。

sansunigateさんの解答を見る限り、大学初年度の
解析学での極限の定義の理解もできていないと
見受けられます。
(そうでなければ、極限を値を代入することと混同したり、
不定形の理解ができていない、といったことはありえません。)
もう一度解析学の教科書の最初に戻って読み直し、
付属の練習問題を解いて理解できてから、これらの問題を
解いてみて下さい。
二変数関数の連続についての問題は、sansunigateさんには
まだ早すぎます。
増してや、別に質問されている複素積分については
解析学の理解が前提になりますので、今の段階では
解かない方が無難です。
No.38171 - 2016/07/23(Sat) 21:06:23