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記事No.38213に関するスレッドです
★ (大学数学）至急ヘルプ願いします / ポイフル
こんにちは。

この例題を教科書を見ながら解こうとしているのですが、途中のプロセスでどうしても理解できない部分があります(涙)。

積分路をCから
C1={z| |z|=1} と、
C2={z| |z-2|=1/2}
にするプロセスが、理解できません。

明日、テストがありますので、どなたか解説をぜひお願い致します。
No.38205 - 2016/07/25(Mon) 18:21:47
☆ Re: (大学数学）至急ヘルプ願いします / X
図のようにC,C[1],C[2]上に点P[1],P[2],P[3],P[4]を取り
赤線のような閉経路を考えます。
例えば,経路Cの逆向きの経路を\Cと書くことにし、
経路P[3]P[2]において
C[1]の上側を通るものをC[11]
経路P[2]P[3]において
C[1]の下側を通るものをC[12]
とすると、赤線の閉経路の順路は
P[1]P[2]→\C[11]
→P[3]P[4]→\C[2]
→P[4]P[3]→\C[[12]
→P[2]P[1]→C
となります。

さて
f(z)=1/{(z^3)(z-2)}
とすると、この閉経路の周及び内部において
f(z)は正則ですのでコーシーの積分定理により
∫[P[1]P[2]]f(z)dz+∫[\C[11]]f(z)dz
+∫[P[3]P[4]]f(z)dz+∫[\C[2]]f(z)dz
+∫[P[4]P[3]]f(z)dz+∫[\C[12]]f(z)dz
+∫[P[2]P[1]]f(z)dz+∫[C]f(z)dz
=0 (A)
ここで条件から
∫[P[2]P[1]]f(z)dz=-∫[P[1]P[2]]f(z)dz
∫[P[4]P[3]]f(z)dz=-∫[P[3]P[4]]f(z)dz
ですので(A)は
∫[\C[11]]f(z)dz+∫[\C[2]]f(z)dz+∫[\C[12]]f(z)dz+∫[C]f(z)dz=0 (A)'
次に
∫[\C[11]]f(z)dz+∫[\C[12]]f(z)dz=∫[\C[1]]f(z)dz
ですので(A)'は
∫[\C[1]]f(z)dz+∫[\C[2]]f(z)dz+∫[C]f(z)dz=0 (A)"
更に
∫[\C[1]]f(z)dz=-∫[C[1]]f(z)dz
∫[\C[2]]f(z)dz=-∫[C[2]]f(z)dz
ですので(A)"は
∫[C]f(z)dz=∫[C[1]]f(z)dz+∫[C[2]]f(z)dz
となります。
No.38213 - 2016/07/25(Mon) 20:40:05
☆ Re: (大学数学）至急ヘルプ願いします / ポイフル
ありがとうございます。

とっても根本的な質問なのですが、

なぜ最初の部分で
C1={z| |z|=1} と、
C2={z| |z-2|=1/2}

という組み合わせで積分路を分けれるのでしょうか？

初歩的な質問で申し訳ないですが宜しくお願いします
No.38215 - 2016/07/26(Tue) 00:53:00
☆ Re: (大学数学）至急ヘルプ願いします / ast
横レスすみません. なんというか, X さんのご説明がまさに
> なぜ最初の部分で
> C1={z| |z|=1} と、
> C2={z| |z-2|=1/2}
> という組み合わせで積分路を分けれるのでしょうか？
の答えそのものに私には思えるのですが, X さんのご説明は納得のうえでそう質問されているのだとすると, もうちょっと言葉を選んでいただかないと意図を図りかねるものがありますね…….

とりあえず, 被積分函数が正則となるような領域での周回積分の値は常に 0 であること, あるいは, 従ってもとの積分路から被積分函数の特異点を含まない正則領域上の曲線を髭のように生やしてその上を迂回していくような積分路に変えても積分値に影響がないこと, などは十分理解されていますか?

もうひとつ, 今述べたことと本質的には全く同じ理由でですが, あるいは X さんのご説明をちゃんと追えばわかることですが, C1, C2 はそれぞれ被積分函数の極である z=0, z=2 を周る互いに交わらない程度に十分小さい円 (あるいは一般に同じように十分小さな任意の閉曲線) ならなんでもいいということは分かっておられますか?
No.38216 - 2016/07/26(Tue) 01:46:06