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記事No.38472に関するスレッドです
★ 微分の範囲の証明です / 高校3年数3です
添付してあるファイルの証明がわかりません。
(1)のア、イ、までは分かったのですが、ウがわかりません。
(2)は、まず初めに(1)をどうやって、利用するのか、その後はどうすればいいのかすらわかりません。質問数が多くて本当にすいません
No.38472 - 2016/08/08(Mon) 18:46:50
☆ Re: 微分の範囲の証明です / X
(1)
(ウ)
証明すべき不等式を(A)とします。
(i)n=1のとき
(ア)の結果により(A)は成立。
(ii)n=lのとき(A)の成立を仮定します。
つまり
x＞0 (B)
のとき
e^x＞1+Σ[k=1〜l](x^k)/k! (C)
ここで
f(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l+1](x^k)/k!}
と置くと
f'(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l](x^k)/k!}
∴(C)により(B)において
f'(x)＞0
となるのでf(x)は(B)において単調増加。
このことと
f(0)=0
により(B)において
f(x)＞0
∴(A)はn=l+1のときも成立。
No.38473 - 2016/08/08(Mon) 19:14:42
☆ Re: 微分の範囲の証明です / 高校3年数3です

f(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l+1](x^k)/k!}
↑のように置いたのは、なぜですか？
f'(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l](x^k)/k!}
↑は1を表していますか？
No.38475 - 2016/08/08(Mon) 20:17:42
☆ Re: 微分の範囲の証明です / 高校3年数3です
>
> f(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l+1](x^k)/k!}
> ↑のように置いたのは、なぜですか？


一つ上の返信間違っていましたすいません。
No.38476 - 2016/08/08(Mon) 20:23:20
☆ Re: 微分の範囲の証明です / X
＞＞f'(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l](x^k)/k!}
＞＞↑は1を表していますか？
1ではありません。
' は「ダッシュ」です。
No.38477 - 2016/08/08(Mon) 20:28:38
☆ Re: 微分の範囲の証明です / 高校3年数3です
すいません。ありがとうございます。
(2)はどうすればいいですか？

考え方だけでも教えてください！お願いします。
No.38478 - 2016/08/08(Mon) 21:31:31
☆ Re: 微分の範囲の証明です / X
(2)
証明すべき等式を順に(A)(B)(C)とします。
(I)(A)の証明
(1)(ウ)の結果により
n≧m+1なるnに対し
e^x＞1+Σ[k=1〜n](x^k)/k!＞{x^(m+1)}/(m+1)!
∴0＜1/e^x＜(m+1)!/{x^(m+1)}
0＜(x^m)/e^x＜(m+1)!/x
よってはさみうちの原理により(A)は成立します。
(II)(B)の証明
x^(1/m)=e^t
と置くと
((B)の左辺)=lim[t→∞]{log(e^(mt))}/e^t
=lim[t→∞](mt)/e^t
∴(A)により(B)は成立します。
(III)(C)の証明
(C)の左辺において
x=1/t^(1/m)
と置いて(B)を使います。
No.38480 - 2016/08/08(Mon) 21:59:16