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記事No.38617に関するスレッドです
★ 三角関数... / ゆーしろー
いつもお世話になっております
(1)から分かりません、、
夏休みずっと考えたのですが、もう泣きそうです...
できるだけ答え近くまでいただけると幸いです。よろしくお願い致します
No.38617 - 2016/08/19(Fri) 20:24:42
☆ Re: 三角関数... / X
(1)
数学的帰納法を使います。
証明すべき等式を(A)とします。
(i)n=1のとき
(A)の成立は明らか。
(ii)n=kのとき(A)の成立を仮定します。
つまり
Σ[l=1〜k]sinlx={sin{(k+1)/2}sin(kx/2)}/sin(x/2)
両辺にsin(k+1)xを足して
Σ[l=1〜k+1]sinlx={sin{(k+1)/2}sin(kx/2)}/sin(x/2)+sin(k+1)x (A)'
ここで
((A)'の右辺)={sin{(k+1)/2}sin(kx/2)}/sin(x/2)+2sin{(k+1)x/2}cos{(k+1)x/2}
={sin{(k+1)/2}/sin(x/2)}{sin(kx/2)+2sin(x/2)cos{(k+1)x/2}}
={sin{(k+1)/2}/sin(x/2)}{sin(kx/2)+sin{(x/2)+(k+1)x/2}+sin{(x/2)-(k+1)x/2}}
(∵)積和の公式
={sin{(k+1)/2}/sin(x/2)}{sin(kx/2)+sin{(k+2)x/2}+sin(-kx/2)}
={sin{(k+1)/2}/sin(x/2)}sin{(k+2)x/2}
=sin{(k+2)x/2}sin{(k+1)/2}/sin(x/2)
となり(A)はn=k+1のときも成立。

(2)
問題の多角形を
△P[k]OP[k+1](k=0,…,n-1)
なるn個の三角形に分割して面積(T[k]とします)を求め
T[k]のkに対する和を取って(1)の結果を使います。
ここで必要となるのは
∠P[k]OP[k-1]
の値ですが、条件から、これのkに対する
総和について
Σ[k=1〜n]∠P[k]OP[k-1]=Σ[k=1〜n]k∠P[1]OP[0]=2π
となることを使って、∠P[1]OP[0]の値を求めることから
考えましょう。

(3)
(2)の結果を使います。
計算するに当たって、適当な置き換えで
lim[x→0](sinx)/x=1
が使えないか考えましょう(S[n]の分母分子をn(n+1)で割ると…)。
No.38618 - 2016/08/19(Fri) 21:15:28
☆ Re: 三角関数... / ゆーしろー
(1)なるほどです
(2)(3)についてはもう1度考えながら解答お借りしますありがとうございます
No.38626 - 2016/08/21(Sun) 17:49:37