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記事No.38692に関するスレッドです
★ 助けてください / 死にかけの受験生　高３
これの（２）と（４）が分かりません・・・理科大の問題なのですがちょっと古い年度で解答がすぐには入手できないので・・・お願いします・・・
No.38692 - 2016/08/27(Sat) 15:23:13
☆ Re: 助けてください / X
(2)
これは面積比較ですね。
まず(1)の結果を使ってx≧4における
y=f(x)のグラフを描き、その上に
次の点を結んだ長方形を描いてみましょう。
A(k,0),B(k,f(k)),C(k-1,f(k)),D(k-1,0)
さて、この長方形の面積が
f(k)
となることはよろしいでしょうか？
このことを頭に入れて、証明すべき不等式の
左辺、右辺の定積分が上記のグラフを描いた
図において、どこの面積になるのかを描き
入れて考えてみましょう。

(4)
はさみうちの原理を使います。
n→∞を考えるのでn＞1としても問題なく
logn＞0
です。
このことと(2)の結果により
{1/(logn)}Σ[k=n〜2n]∫[k→k+1]f(x)dx＜{1/(logn)}Σ[k=n〜2n]f(k)＜{1/(logn)}Σ[k=n〜2n]∫[k-1→k]f(x)dx
これより
{1/(logn)}∫[n→2n+1]f(x)dx＜{1/(logn)}Σ[k=n〜2n]f(k)＜{1/(logn)}∫[n-1→2n]f(x)dx
左辺、右辺の定積分を計算すると
{1/(2logn)}{{log(2n+1)}^2-(logn)^2}＜{1/(logn)}Σ[k=n〜2n]f(k)＜{1/(2logn)}{(log2n)^2-{log(n-1)}^2} (A)
((A)の左辺)={1/(2logn)}{log(2n+1)-logn)}{log(2n+1)+logn}
={1/log(n^2)}{log{(2n+1)/n}}log(2n+1)n
={1/log(n^2)}{log{(2n+1)/n}}{-log2+log(1+1/n^2)+log(n^2)}
={log(2+1/n)}{-log2/log(n^2)+{1/{(n^2)(log(n^2)}}log{(1+1/n^2)^(n^2)}+1}
((A)の右辺)={1/(2logn)}{log2n-log(n-1)}{log2n+log(n-1)}
={1/log(n^2)}{log{2n/(n-1)}}log2n(n-1)
={1/log(n^2)}{log{2n/(n-1)}}{log2+log(1-1/n^2)+log(n^2)}
={log{2/(1-1/n)}}{log2/log(n^2)-{1/{(n^2)(log(n^2)}}log{(1-1/n^2)^(-n^2)}+1}
よって
lim[n→∞](1+1/n^2)^(n^2)=e
lim[n→∞](1-1/n^2)^(-n^2)=lim[n→∞](1+1/(-n^2))^(-n^2)=e
であることに注意して、(A)の各辺のn→∞の極限を取ると
はさみうちの原理により
lim[n→∞]{1/(logn)}Σ[k=n〜2n]f(k)=log2
つまり
lim[n→∞]{1/(logn)}Σ[k=n〜2n](logk)/k=log2
となります。
No.38695 - 2016/08/27(Sat) 20:37:26
☆ Re: 助けてください / X
(2)(別解)
証明すべき不等式は次の連立不等式と同値です。
∫[k→k+1]f(x)dx＜f(k) (P)
f(k)＜∫[k-1→k]f(x)dx (Q)
ということで、(P)(Q)それぞれを
平均値の定理を使って証明します。

(P)の(∵)
条件から平均値の定理により
f(c)=∫[k→k+1]f(x)dx (R)
k＜c＜k+1 (S)
なるcが存在します。
ここで(1)の過程により(S)から
f(k+1)＜f(c)＜f(k)
これと(R)により(P)は成立します。
((Q)についても同様です。)
No.38697 - 2016/08/27(Sat) 21:01:09
☆ Re: 助けてください / 死にかけの受験生　高３
ありがとうございます神様!!!!!本当に助かりました!!!!!!
No.38702 - 2016/08/27(Sat) 23:33:35