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記事No.38737に関するスレッドです
★ (No Subject) / kyo
この問題の⑵の解き方教えてください。
No.38737 - 2016/08/30(Tue) 21:51:40
☆ Re: / angel
2次方程式の「判別式=0」がひたすら出てきます

まずは、その「共通な接線」を l:y=px+q と置くことにしましょう。

そうすると、l は C,Ca両方と接する訳ですから、そこから p,q,a の条件が割り出せるはずです。
具体的には、2次方程式の判別式を使います。

　lとCが接する
　　x^2=px+q が重解を持つ → 判別式=0
　lとCaが接する
　　a(x-2)^2-1=px+q が重解を持つ → 判別式=0

ちなみに、q は p の式として確定しますので、q を消去して a,p の条件式にしておきます。次のようになるはずです。

　(1-a)p^2+8ap+4a=0

さて。問題の条件は「共通な接線をただ1つだけもつ」でしたから、aの値を決めたときに、この条件を満たす p が2つ以上あるとマズいわけです。
そうすると、このa,pの条件式を p の2次方程式 ( もしくは、a=1であれば1次方程式 ) と見て、解が1つになる、と考えます。
※解が2つ以上あると、それに応じて接線が2つ以上できてしまう
つまり、a≠1 で2次方程式の場合に重解となる ( 判別式=0 ) か、a=1 で1次方程式になるか、というのが解が1つになる時です。

そこから a の値を求めます ( 複数 )。なお、a≠0 ( Ca が放物線になるため ) に注意しましょう。
No.38740 - 2016/08/31(Wed) 01:38:40