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記事No.38909に関するスレッドです
★ 式と曲線 / ゆい
解答の(2)の四行目と六行目が分かりません
PQ^2=(1+t)(α+β)^2と、タンジェントの変換のところです。

直線や線分と書かれていないということは、点Pと点Qの二乗を掛けているということですか？
タンジェントはtanθ=sinθ/cosθを利用しているのでしょうか？
面倒かもですが、よろしくお願いします。
No.38909 - 2016/09/13(Tue) 07:27:02
☆ Re: 式と曲線 / angel
※同じ質問の追加情報や補足内容は、自分の記事への返信という形にして、ひとまとまりになるようにして頂けると助かります。

さて、ご質問についてですが、

> 直線や線分と書かれていないということは、点Pと点Qの二乗を掛けているということですか？

PQ^2 というのは、「線分PQの長さの2乗」と解釈してください。
( あるいは、「点P,Q間の距離の2乗」でも構いません。同じことです )

> PQ^2=(1+t^2)(α-β)^2

これは、「傾き t の直線上で、x座標がα,βの2点間の距離は幾らか」を考えて計算した結果です。

　(距離の2乗)=(x座標の差の2乗)+(y座標の差の2乗)

ですよね。ここに今の状況を当てはめると、

　PQ^2=(α-β)^2 + ( t(α-β) )^2

となりますので、ここから計算できます。( 慣れていれば、この式はすっとばせます )

> タンジェントはtanθ=sinθ/cosθを利用しているのでしょうか？

はい。で、同じことではあるのですが、分数を使わない形の方が見て混乱しにくいでしょうから、

　cosθtanθ=sinθ

という形で、カッコの中身 (1+(tanθ)^2)/(1-(tanθ)^2) を整理してみます。分母・分子に (cosθ)^2 をかけます。( 約分の逆 )

　　(1+(tanθ)^2)/(1-(tanθ)^2)
　= (cosθ)^2・(1+(tanθ)^2)/( (cosθ)^2・(1-(tanθ)^2) )
　= ( (cosθ)^2 + (cosθtanθ)^2 )/( (cosθ)^2 - (cosθtanθ)^2 )
　= ( (cosθ)^2 + (sinθ)^2 )/( (cosθ)^2 - (sinθ)^2 )

ということで、解答にある式が計算できます。
No.38911 - 2016/09/13(Tue) 10:09:11
☆ Re: 式と曲線 / ＿
angel氏とタイミングが重なったので重複部を消去。
あとせっかく書いたので補足してみる。

---

「点Pと点Qの二乗を掛けている」とは考えようがありません。点を表す記号を数値として表す概念は習っていないはずですので。「線分PQとは書かれていないから」という理由で別の解釈を引っ張り出してみるのは筋が悪いです。

そもそも問題文にPQ^2が登場していますね。調べたところ原典でこの表現を用いているようです。大学側に「線分PQの長さならそう書いてくれないとわからない」と言ったところで多分一蹴されるでしょう。まあ、問題文として詰めの甘い書き方だとは思いますが。
No.38912 - 2016/09/13(Tue) 10:14:03
☆ Re: 式と曲線 / ゆい
お二方ともありがとうございました!
投稿の仕方も以後気をつけます
No.38923 - 2016/09/14(Wed) 12:46:15
☆ Re: 式と曲線 / noname
質問が解決されている様なので言及すべきかどうか迷ったのですが，念の為に書いておきます．

問題文には直線lが双曲線の漸近線と平行になることはないという指定は書かれていますが，直線lとx軸が直交するかどうかについては何も指定されていません．ということは，本当は直線lとx軸が直交する場合とそうでない場合で場合分けをして解答されるべきなのですが，参考書の解答例には直線lとx軸が直交しない場合についての解答例しか与えられていません．

そういうわけで，質問者様は直線lとx軸が直交する場合でもCとlが異なる2点で交わることを確認していただくとよいかと思います．この場合は図を見ればすぐに分かる程度の自明な場合なので，確認するのは非常に易しいかもしれません．
No.38940 - 2016/09/15(Thu) 13:16:00
☆ Re: 式と曲線 / noname
先程のコメントの補足説明は主に(1)に対してです．一方，(3)においてはlとmがともにCと異なる2点で交わる必要があるため，l,mはともにCの漸近線と平行になることはないという指定が必要となります．この時にl,mのいずれかがx軸と直交することはありません(lとmのなす角を考えればわかる)．
No.38941 - 2016/09/15(Thu) 13:20:59
☆ Re: 式と曲線 / angel
> 問題文には直線lが双曲線の漸近線と平行になることはないという指定は書かれていますが，直線lとx軸が直交するかどうかについては何も指定されていません．

No.38910にあるオリジナルの問題文には「θはπ/4の整数倍ではないとする」とありますので、直線l ( x軸となす角がθ ) が x軸と直交することはないです。

※もちろん、直交する場合等はどうか、というケアは必要かと思います。( 今回は考えなくてよいだけで )
No.38951 - 2016/09/16(Fri) 14:04:49
☆ Re: 式と曲線 / noname
>No.38910にあるオリジナルの問題文には「θはπ/4の整数倍ではないとする」とありますので、直線l ( x軸となす角がθ ) が x軸と直交することはないです。

条件よりx軸と直交することがないのは直線mの方であり，直線lはx軸と直交する可能性はあります．なぜなら，lとx軸のなす角θに関する条件は双曲線の2本の漸近線のうちいずれとも平行になることはないことを言っているのであり，θ≠π/2+kπ(k＝0,±1,±2,...)という指定まではされておりません．したがって，直線mに関しては気にする必要はありませんが，直線lについてはx軸と直交する場合を確認しなければなりません．
No.38973 - 2016/09/17(Sat) 23:12:13