わかりやすく説明お願いします
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No.38929 - 2016/09/14(Wed) 19:59:31
| ☆ Re: / noname | | | 以下の解説を参考に一度お考えください．
[解説]
(1)t＝e^{2x}+4e^x+1と変数変換すると
dt/dx＝2(e^{2x}+2e^x)
であり，xが-1から1まで値をとる時，tはe^{-2}+4e^{-1}+1からe^2+4e+1まで値をとります．よって，定積分の変数変換の式より
∫_[-1,1]f(x)dx
＝∫_[-1,1](e^{2x}+2e^x)/(e^{2x}+4e^x+1)・dx
＝∫_[e^{-2}+4e^{-1}+1,e^2+4e+1]dt/(2t)
の様に変形することが出来ます．後はこの等式の最右辺の定積分を地道に計算していくだけです．
(2)(i)定積分∫_[-1,1]f(x)dxの積分区間[-1,1]を[-1,a_[n]],[a_[n],1]の2つに分割して考えるとよいかと思います．その際に，(1)の結果と数列{a_[n]}に関する条件を用います．
(ii)n＝1の場合は明らかなので，特にn＝kの時に不等式が成り立つと仮定した場合での議論について説明を与えておきます．関数f(x)は非負実数をとる関数なので，定積分∫_[-1,a_[k]]f(x)dxも非負です．また，0≦a_[k]≦1，{a_n}の条件，(1)の結果とf(x)が非負であることよりa_[k+1]≦1を示すことが出来ます．
(3)微分法により，f(x)は定義域上で単調増加な関数であることが言えます．特に，-1≦x≦1ではf(x)≦f(1)です．これと(2)の(i)の結果より問題文にある不等式を導出することが出来ます．後半の問いについては，ある自然数ℓに対してa_[ℓ]＝1ならば，不等式よりa_[n]＝1(n≧ℓ)であるため，この場合の数列{a_[n]}の極限は容易に分かるかと思います．一方，a_[n]≠1(n＝1,2,...)の場合は，n＞1ならば
0≦1-a_[n]≦f(1)(1-a_[n-1])≦…≦(f(1))^{n-1}
が得られるため，はさみうちの原理を利用すればこの場合での{a_[n]}の極限も分かるかと思います．
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No.38937 - 2016/09/15(Thu) 03:11:37 |
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