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記事No.38972に関するスレッドです
★ (No Subject) / アイス
画像の問題なんですが、
・なぜ、y'=4x^3-4x＋1より、とする必要があるのですか？
・シャーペンで引いてあるところがなぜ=になるか分からないのと、その下の計算もなぜそうなるか分かりません。
No.38954 - 2016/09/17(Sat) 09:39:41
☆ Re: / ヨッシー
接点(a, a^4−2a^2＋a＋2) における接線とは、
点(a, a^4−2a^2＋a＋2) を通り、傾き 4a^3−4a＋1 の直線です。

傾き 4a^3−4a＋1 を出すために、微分して、
　ｙ'＝4x^3−4x＋1
を求めています。

これらを、中学の時に習った、点(x1, y1) を通り、傾きｋの直線の式
　ｙ−ｙ1＝ｋ(ｘ−ｘ1)
に代入したものが、下線を引いた式です。
それを ｘについて降べきの順に並べ直したのが、その下の式です。
No.38955 - 2016/09/17(Sat) 10:17:58
☆ Re: / angel
うーん解答としては、文のつながりが悪い、よろしくないものですね。
式を羅列するのが解答ではないので…。
※極端ですが、私が解答書くとき、個々の計算の途中経過はほとんど省略してましたからね…。
No.38956 - 2016/09/17(Sat) 10:32:32
☆ Re: / アイス
何度質問してすみません。
シャーペンで囲ってあるところがよく分かりません。
No.38957 - 2016/09/17(Sat) 12:27:06
☆ Re: / ヨッシー
　x^4−2x^2−(4a^3−4a)x＋3a^4−2a^2＝0 ・・・(i)
の左辺に x=a を代入すると０になるので、
左辺は (x-a) がくくり出せて、
　((i)の左辺)＝(x-a)(x^3＋ax^2＋(a^2−2)x−3a^2＋2a)
x^3＋ax^2＋(a^2−2)x−3a^2＋2a に x=a を代入すると０になるので、
さらに (x-a) がくくり出せて
　((i)の左辺)＝(x-a)^2(x^2＋2ax＋3a^2−2)
となります。
No.38958 - 2016/09/17(Sat) 12:50:07
☆ Re: / アイス
なぜ、x-aがくくり出せるのですか？
あと、(x-a)(x^3＋ax^2〜)となるのはなぜですか？
No.38968 - 2016/09/17(Sat) 18:21:20
☆ Re: / angel
ヨッシーさん本人ではないですが

> なぜ、x-aがくくり出せるのですか？

このように理由が書いてありますね。

> 左辺に x=a を代入すると０になるので、左辺は (x-a) がくくり出せて、

ピンと来ない場合は、「剰余の定理」を復習しましょう。
http://mathtrain.jp/joyonoteiri

> (x-a)(x^3＋ax^2〜)となるのはなぜですか？

「なぜ」というのは「結果がおかしいのでは?」ということでしょうか? それとも「計算の仕方が分からない」ということでしょうか? (「なぜ」だけだと何を知りたいのか、周りにとって分かり辛いので… )

実は、ヨッシーさんの計算には微妙に誤記があって、

　(x^4-2x^2-(4a^3-4a)x+3a^4-2a^2)
　=(x-a)(x^3+ax^2+(a^2-2)x-3a^3+2a)

が正しいです。
計算方法という意味では、

　(x^4-2x^2-(4a^3-4a)x+3a^4-2a^2)÷(x-a)

という1次式による割り算を行っているので「組立除法」を使うのが楽でしょう。やり方については次を参考に。
http://mathtrain.jp/kumitate
No.38969 - 2016/09/17(Sat) 20:19:27
☆ Re: / アイス
組立除法のやり方は分かりました。わざわざリンクまで貼って頂きありがとうございました。
しかし、今回の問題を組立除法で解くには自分にとってかなりの難題なので、組立除法でどう解くか教えて下さい。
No.38970 - 2016/09/17(Sat) 21:02:01
☆ Re: / angel
手書きなのでちょっと汚いですが、この画像のような感じですね。
ポイントとしては、

* 割る対象の多項式の係数を並べる。飛ばされている x^3 のところは係数 0 と考える。
* ÷(x-a) の計算なので、-a の符号を反転した a がベースになる。
* 下の向きには足し算、右上の向きには×aを繰り返す
* 下の段に現れる数/式が、商の係数の一覧。ただし右端は余り
No.38971 - 2016/09/17(Sat) 22:30:46
☆ Re: / angel
もちろん、こういう筆算でも良いんですが。…でも、やってる計算は結局同じで ( 足し算か引き算の違いはありますが )、組立除法の方がスッキリ書けるんですよね。
※2次式以上での割り算なら、基本は筆算です。
No.38972 - 2016/09/17(Sat) 22:43:15
☆ Re: / アイス
ありがとうございます。やっと理解出来ました。
No.38974 - 2016/09/18(Sun) 10:08:16