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記事No.39035に関するスレッドです
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の3の(1)の解き方が分かりません。
No.39012 - 2016/09/21(Wed) 19:57:23
☆ Re: / X
y'={2(x-1)(x^2+1)-{(x-1)^2}・2x}/(x^2+1)^2
=2{(x^2+1)-(x-1)x}(x-1)/(x^2+1)^2
=2(x+1)(x-1)/(x^2+1)^2
∴問題の関数は
x=1で極小値0
x=-1で極大値2
を取ります。
又
y"={2x(x^2+1)^2-(x^2-1)・4x(x^2+1)}/(x^2+1)^4
=2x{(x^2+1)-2(x^2-1)}/(x^2+1)^3
=-2x(x^2-3)/(x^2+1)^3
∴変曲点のx座標は0,√3,-√3
以上から増減表を書きます。

但しグラフを描くには定義域の両端
つまり
x→±∞
においてグラフがどのような値を
取るかも押さえておく必要があります。
ということでこのときの極限を
計算すると
lim[x→∞]y=lim[x→∞]{(1-1/x)^2}/(1+1/x^2)
=1
lim[x→-∞]y=lim[x→-∞]{(1-1/x)^2}/(1+1/x^2)
=1
以上のことを使いグラフを描きましょう。
No.39014 - 2016/09/21(Wed) 20:15:52
☆ Re: / アイス
y''のところがなぜそのように解けるか分かりません。分かりやすく教えて下さい。
No.39017 - 2016/09/21(Wed) 20:32:54
☆ Re: / angel
「分かりやすく教えて下さい」だとフワっとし過ぎていて、答える方もどうしていいやら…。

どこまで分かって、どこから分からないのか。自分で考えてることとのズレがどうなのか、とか。ある程度切り分けを行うのは、自分の理解にとっても有益ですし、質問-回答をスムーズに進めることにもなります。

で、実はXさんの計算にはちょっとミスがあって、正しくは

　y"=2{2x(x^2+1)^2-(x^2-1)・4x(x^2+1)}/(x^2+1)^4
　　=4x{(x^2+1)-2(x^2-1)}/(x^2+1)^3
　　=-4x(x^2-3)/(x^2+1)^3

です。全体を2倍する必要があった、というところです。
後は、(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 の形の微分なので、

　y'=2(x-1)(x+1)/(x^2+1)^2=2(x^2-1)/(x^2+1)^2

から、

　y''=2{ (x^2-1)'(x^2+1)^2 - (x^2-1)((x^2+1)^2)' }/( (x^2+1)^2 )^2

をやってるのが、y'' の計算の始まりなんですが、そこはよろしいでしょうか。ここから個々の微分を計算して、式を整理するところはどうでしょうか。
No.39023 - 2016/09/22(Thu) 01:41:30
☆ Re: / X
>>angelさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>アイスさんへ
ごめんなさい。angelさんの仰る通りです。
No.39025 - 2016/09/22(Thu) 04:05:12
☆ Re: / アイス
多分増減表はこうなると思うのですが、自分はいつも、プラスマイナス調べる時に、例えば−1と0の間でしたら、−0.5を代入するといったふうにいちいち代入して調べていました。他に速く調べる方法はないのですか？
No.39028 - 2016/09/22(Thu) 08:35:33
☆ Re: / angel
なるべくプラス・マイナス ( あるいは 0 か ) だけを考えることだと思います。そのために、式はなるべく因数分解した形に整理しておきます。

今回 y'=2(x+1)(x-1)/(x^2+1)^2 なので、

* 係数の 2 はプラス・マイナスに影響ないため無視
* まず分母は (〜)^2 の形なので常にプラス、全体のプラス・マイナスには影響がないため無視
* 残りは (x+1)(x-1) の部分
　　x＜-1 では、マイナス・マイナスなので全体としてプラス
　　-1＜x＜1 では、プラス・マイナスなので全体としてマイナス
　　1＜x では、プラス・プラスなので全体としてプラス

といった感じです。
「例えば−1と0の間でしたら、−0.5を代入する」というのは良いと思いますが、全体の値を計算するところまで進めずに、それぞれの部分のプラス・マイナスがどうなるか、で止めると速くなると思います。
No.39033 - 2016/09/22(Thu) 09:49:59
☆ Re: / アイス
増減表とグラフはそれぞれこうなりますか？
No.39034 - 2016/09/22(Thu) 11:03:17
☆ Re: / アイス
グラフです。
No.39035 - 2016/09/22(Thu) 11:05:18
☆ Re: / angel
私の作った増減表と、grapesというグラフ作成ツールで作ったグラフ ( これはあくまで参考 ) を載せます。

アイスさんの表は、2か所 ( 表中の赤字 ) の増減の矢印の凹凸が違います。が、計算で特に間違えているところはないです。

グラフは、その凹凸のミスに引きずられて描き辛そうな形に見えますが、全体として大きく問題はないと思います。
No.39037 - 2016/09/22(Thu) 15:14:11
☆ Re: / アイス
こんなに細かく教えて下さりありがとうございました。
No.39038 - 2016/09/22(Thu) 17:15:11