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記事No.39039に関するスレッドです
★ (No Subject) / アイス
画像の問題は漸近線が2つありますが、y=(−2x/(x^2＋1))＋1といったように分母がx^2＋○みたいな形だったら漸近線は1つだけなんですか？
分かりづらくてすみません。
No.39039 - 2016/09/22(Thu) 17:33:04
☆ Re: / X
そうとは限りません。
アイスさんが挙げられた例についても
y=-2x/(x^2+1)+tanx
というような形になると、漸近線は
x=π/2+nπ (nは任意の整数)
となり、無限の本数存在します。
ですので、例えば
この形だから２本見つければいいだろう
といった考え方はできません。

一般に直線での漸近線として考えられるのは
次の二種類です。

一つはNo.39030でangelさんが説明されているような
x→±∞
で漸近していく「y軸平行ではない漸近線」。

もう一つはy軸平行の直線が漸近線となる場合です。
lim[x→a±0]f(x)=±∞
(複号任意)
のとき、y=f(x)のグラフは
直線x=a
を漸近線に持ちます。

二つ目の場合で候補として挙げられるのは
分数の形をした関数で
x→a±0のときに分母→0
となるようなタイプ
です。
ただ、これも飽くまで候補であって
x→a±0のときに不定形になるものもありますので
候補と考えられるものでも一度計算してみないと
分かりません。
(不定形であっても、有限確定値に収束しないものが
ありますので。)

言えることは個々の問題において、上記の二種類の
漸近線が何本あるかチェックする必要がある
ということです。

只、x軸平行でもy軸平行でもない漸近線は
めったに出てきません。
その例でよく見かけるのは双曲線の式が
関数の中に混じっている場合ですので
チェックする上での参考にはなります。
例)
y=x+1/x

後はx軸平行、y軸平行の漸近線についてですが
これらはチェックは比較的容易です。

まずx軸平行の漸近線について。
x→±∞での極限が
有限確定値の場合は
直線y=b
(bはx→±∞での極限値)
が漸近線となることが容易にわかります。
例)
y=1/xについて
lim[x→±∞]y=0
ですので
直線y=0(つまりx軸)
が漸近線となっています。

次にy軸平行の漸近線についてですが
これは関数の定義域を考える過程で
自然に候補は出てきます。
例)
y=1/xの定義域はx＜0,0＜xなので
直線x=0(つまりy軸)
が漸近線の候補に挙げることが
できますが実際に漸近線に
なっています。






まとまりのない文章ですがこんなところでしょうか。
No.39040 - 2016/09/22(Thu) 18:37:19