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記事No.39128に関するスレッドです
★ ガウス記号 / あ
実数xに対し、xを超えない最大の整数を[x]とかく。xy平面において、３つの不等式 0<x<√2 , 0<y<1 , [x^2]+[y^2]=[x^2+y^2] の表す領域とその境界を合わせた図形の面積を求めよ。
図をつけてくれるとありがたいです。
No.39123 - 2016/09/25(Sun) 21:36:16
☆ Re: ガウス記号 / angel
ガウス記号に惑わされず、地道に場合分けすることです。

ガウス記号というのは、具体的には
　[0.12…]=0
　[1.55…]=1
というようなものです。

今、0＜x＜√2, 0＜y＜1 という条件がある以上、

　x^2 = 0.△△△… or 1.△△△…
　y^2 = 0.△△△…

のような計算結果に限られます。つまり、
　[x^2]=0 or 1
　[y^2]=0
場合分けすると、[x^2]+[y^2]=[x^2+y^2] は、

　[x^2]=0 かつ [x^2+y^2]=0
　[x^2]=1 かつ [x^2+y^2]=1

となります。
一般的に、[a]=n というのは、a=n.△△△… ということですから、

　[a]=n ⇔ n≦a＜n+1

です。これを加味して条件を更に整理すると、

　0≦x^2＜1 かつ 0≦x^2+y^2＜1
　1≦x^2＜2 かつ 1≦x^2+y^2＜2

これに、問題の条件 0＜x＜√2, 0＜y＜1 も加えた最終的な範囲は添付の図のようになります。( 赤い四角の枠内の水色領域 )
面積については、扇形2つに気付けば計算できます。
No.39128 - 2016/09/25(Sun) 23:07:23
☆ Re: ガウス記号 / あ

　0≦x^2＜1 かつ 0≦x^2+y^2＜1
　1≦x^2＜2 かつ 1≦x^2+y^2＜2
から、どうやって図を導き出したのですか？
No.39130 - 2016/09/25(Sun) 23:45:29
☆ Re: ガウス記号 / angel
上の図についてはグラフ描画ソフトを使ったもので、範囲外のところもあったりしますが…。

>　0≦x^2＜1 かつ 0≦x^2+y^2＜1
>　1≦x^2＜2 かつ 1≦x^2+y^2＜2
> から、どうやって図を導き出したのですか？

0≦x^2+y^2＜1 ( 0≦ は省略しても構いませんが ) は原点を中心とする半径1の円の内側、
1≦x^2+y^2＜2 は、原点を中心とする半径√2の円から半径1の円をくりぬいた輪の内側です。

あとは、x の値の範囲、yの値の範囲に合うところを切り取ってあげれば良いです。
No.39133 - 2016/09/26(Mon) 00:13:47
☆ Re: ガウス記号 / あ
なるほど、理解しました。わかりやすい解説、本当にありがとうございます！
No.39134 - 2016/09/26(Mon) 00:20:58