これ解いてください。突破口がみつからなくて困っています。
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No.39169 - 2016/09/26(Mon) 22:36:51
| ☆ Re: 高校2年生 数学B 数列 漸化式に関する問題 / noname | | | (1)については，数列[a(n)},{b(n)}の定義に則って地道に計算するのみです．(3)については，{b(n)}の一般項が分かっていれば，
Σ_[k＝1,2^n-1]a(k)
＝Σ_[k＝1,n](Σ_[ℓ＝2^{k-1},2^k-1]a(ℓ))
＝Σ_[k＝1,n]b(k)
を計算するのみなので，これも難しくはないです．一方，(2)は他の設問と比べて解きづらい感じになっています．以下では(2)の解き方の概要を与えておきます．
[(2)の解き方]
(1)の結果からb(n)＝3^{n-1}(…?@)(n＝1,2,3,...)と類推できる．これが成り立つことをnについての数学的帰納法で証明する．n＝1の時の確認については省略する．n＝kの時に?@が成り立つと仮定すると，
b(k+1)
＝a(2^k)+a(2^k+1)+a(2^k+2)+…+a(2^{k+1}-1)
＝Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^k+2m)+Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^k+2m+1)
＝Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^{k-1}+m)+Σ_[m＝0,2^{k-1}-1](a(2^{k-1}+m)+a(2^{k-1}+m+1))
＝Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^{k-1}+m)+Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^{k-1}+m)+Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^{k-1}+m+1)
＝b(k)+b(k)+(b(k)-a(2^{k-1})+a(2^k))
＝3b(k)-a(2^{k-1})+a(2^k).
ここで，a(2^{k-1})＝a(2^k)＝1となることを{a(n)}の定義からチェックできれば，n＝k+1の時も?@が成り立つことが言える．
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No.39173 - 2016/09/26(Mon) 23:55:08 |
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