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記事No.39206に関するスレッドです
★ (No Subject) / アカシロトモ
昨日からお世話になってます。
次の問題の最後の部分が分かりません。教えて下さい。
問題：2次方程式x^2+ax+1+2i＝0(aは複素数の定数)
が実数解をもつとき、|a|の最小値を求めよ。

α＝a＋biを代入して、方程式を実数部と虚数部に分けて、係数をそれぞれが0にすると、
x^2+ax+1＝0・・・?@　、bx+2＝0・・・?A
?@より実数条件から、a^2-4>0　、?Aを?@に代入して4/b^2-2a/b+1=0　
この2式を満たすような実数a,bで、a^2+b^2が最小になるものを見つければよいと思うのですが、
ここからが分かりません。
相加相乗平均で解くようなのですが。教えてください。
No.39204 - 2016/09/27(Tue) 22:35:20
☆ Re: / IT
|a|^2をx で表した方が簡単なのでは？

x^2+ax+1+2i＝0 のとき
x≠0なので,-a = x+1/x+(2/x)i
よって,|a|^2= (x+1/x)^2+(2/x)^2=x^2+5/x^2+2
相加相乗平均の関係より ≧ 2(√5)+2　等号は・・・のとき
No.39205 - 2016/09/27(Tue) 22:56:00
☆ Re: / angel
そっちの方向でもできないことはないんですが…。
おそらく高校範囲を超える計算ですね。
※軸が傾いた双曲線 4/b^2-2a/b+1=0 に接する円 a^2+b^2=r^2 を求める、添付の図参照

そうではなくて、元の2次方程式の解と係数の関係を使うのが楽でしょう。
No.39206 - 2016/09/27(Tue) 22:59:33
☆ Re: / アカシロトモ
ITさん、angelさん
ありがとうございます。

難しくてよくわかりません。
図形の考え方は、同心円の最小半径の考え方だと思いますが、
接線の傾きが同じ、とするのでしょうか。そもそも接線の傾きが分かりません。
また、解と係数の関係の方もよくわかりません。
No.39209 - 2016/09/27(Tue) 23:29:06
☆ Re: / IT
私の解答は、基本的な式変形と、複素数の絶対値の定義、相加相乗平均の関係　しか使っていませんが　どこが不明ですか？
No.39211 - 2016/09/27(Tue) 23:33:49
☆ Re: / angel
あ、上のグラフについては、
「そう考えるとこの先こうなりますよ」ってだけです。
辛いので捨ててしまって構わないです。

解と係数の関係についてですが、

　* 実数解を r と置く
　* もう1つの解を、( 解の積から ) r で表す
　* a を ( 解の和から ) r で表す
　* a の絶対値 ( の2乗 ) を r で表す

の順で取り組んでみてください。
No.39212 - 2016/09/27(Tue) 23:36:56
☆ Re: / アカシロトモ
IT さん

大変失礼いたしました。
式を転記ミスして間違って何回も計算おりました。
相加相乗平均の解答、よく理解できました。
ありがとうございました。
No.39214 - 2016/09/27(Tue) 23:47:25
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

今から考えてみます。ありがとうございました。
No.39215 - 2016/09/27(Tue) 23:49:22
☆ Re: / angel
あ。私の解き方、基本的にはITさんと同じでした。
※そしてITさんの方がスマート
No.39233 - 2016/09/28(Wed) 20:11:44