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記事No.39218に関するスレッドです
★ 数列 / ゆい
解答の「すなわち〜」から次の行への式変形が分からないので教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.39218 - 2016/09/28(Wed) 00:38:58
☆ Re: 数列 / ゆい
問題です
No.39219 - 2016/09/28(Wed) 00:39:31
☆ Re: 数列 / noname
等式S_[n]/2^n＝S_[n-1]/2^{n-1}+nの右辺にあるS_[n-1]/2^{n-1}を左辺に移行しているだけです．
No.39221 - 2016/09/28(Wed) 00:54:10
☆ Re: 数列 / noname
質問内容を見返してみたら，疑問点は

>解答の「すなわち〜」から次の行への式変形が分からない

ということでしたね．見当違いな解答をしてしまい申し訳ありません．さて，

S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1}＝n（n＞0）

により，次の式が成立します．

S_[n]/2^n-S_[0]/2^0
＝(S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1})+…+(S_[2]/2^2-S_[1]/2^1)+(S_[1]/2^1-S_[0]/2^0)
＝Σ_[k＝1,n](S_[k]/2^k-S_[k-1]/2^{k-1})
＝Σ_[k＝1,n]k.
∴S_[n]/2^n＝S_[0]/2^0+Σ_[k＝1,n]k＝n(n+1)/2.
∴S_[n]＝2^{n-1}・n(n+1).

ただし，ここまでの式変形はn＞0の下で行っています．そのため，解答例の最後の辺りでn＝0の場合のチェックを行っています．
No.39222 - 2016/09/28(Wed) 01:21:44
☆ Re: 数列 / ゆい
> S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1}＝n（n＞0）
>
> により，次の式が成立します．
>
> S_[n]/2^n-S_[0]/2^0

すみません、まだ分からないです…
S_[0]/2^0　の0はどこから出てきているのでしょうか？
面倒だと思いますがよろしくお願いします…
No.39248 - 2016/09/28(Wed) 22:28:48
☆ Re: 数列 / noname
>S_[0]/2^0　の0はどこから出てきているのでしょうか？


その様に考えるのではなく，次の等式

>S_[n]/2^n-S_[0]/2^0
＝(S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1})+…+(S_[2]/2^2-S_[1]/2^1)+(S_[1]/2^1-S_[0]/2^0)
＝Σ_[k＝1,n](S_[k]/2^k-S_[k-1]/2^{k-1})
＝Σ_[k＝1,n]k.

とは「等式S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1}＝n(n＞0)を用いるとS_[n]/2^n-S_[0]/2^0を式変形することが出来る」ということを示しているのだと考えるべきです．S_[0]/2^0がどこから出てきたのかではなく，S_[n]/2^n-S_[0]/2^0をどうすればうまく式変形が出来るのかを考えているのです．
No.39255 - 2016/09/28(Wed) 23:08:00
☆ Re: 数列 / ゆい
ごめんなさい、どうしても分かりません…
これ以上説明が難しそうでしたら、もう少し勉強してから再度挑戦してみるので大丈夫です
丁寧に教えていただいているのに本当にすみません…
No.39259 - 2016/09/28(Wed) 23:45:26
☆ Re: 数列 / noname
>S_[0]/2^0　の0はどこから出てきているのでしょうか？


数列{S_[n]}は，n＝0の時はS_[0]＝0，n≧1の時は

S_[n]＝a_[1]+a_[2]+…+a_[n]

により定義される数列です．よって，数列{S_[n]/2^n}もn≧0で定義されている数列であり，S_[0]/2^0とはこの数列の初項，つまり，n＝0の時のS_[n]/2^nのことです．そして，等式S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1}＝n(n＞0)を用いると，

>S_[n]/2^n-S_[0]/2^0
＝(S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1})+…+(S_[2]/2^2-S_[1]/2^1)+(S_[1]/2^1-S_[0]/2^0)
＝Σ_[k＝1,n](S_[k]/2^k-S_[k-1]/2^{k-1})
＝Σ_[k＝1,n]k.

の様にうまく式変形を行うことが出来て，この式変形より得られた等式

S_[n]/2^n-S_[0]/2^0＝Σ_[k＝1,n]k

よりS_[n]/2^nの一般項の式が分かるというわけです．ここまでの説明で分からない箇所があれば明確に仰ってください．
No.39268 - 2016/09/29(Thu) 01:19:23
☆ Re: 数列 / ゆい
時間かけてなんとか理解できました
数学難しいですね…つらいです
詳しく説明いただいてありがとうございました
No.39286 - 2016/09/29(Thu) 17:25:53