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記事No.39227に関するスレッドです
★ (No Subject) / 名森
下記の問題の解説をお願い致します…。

（１）
連立不等式
x＾2＋y＾2−4（x＋y）＋7≦0
x＋y≧3
の表す領域をDとする。
点（x,y）がDを動くとき,
（y＋1）/（x-5）の最大値,最小値を求めよ

（２）
放物線y=x＾2と直線y=m（x+2）が異なる２点A,Bで交わっている.定数mの値の範囲を求めよ.
またmの値が変化するとき,線分ABの中点の軌跡を求めよ.
No.39225 - 2016/09/28(Wed) 16:53:42
☆ Re: / X
x^2+y^2-4(x+y)+7≦0 (A)
x+y≧3 (B)
とします。
(A)より
(x-2)^2+(y-2)^2≦1
(B)より
y≧-x+3
これらに基づいてまずDを図示します。
次に
(y+1)/(x-5)=k (C)
と置くと
y=k(x-5)-1 かつx≠5
よって(C)は
点(5,-1)を通り、傾きがkである直線
の内、点(5,-1)を除いたもの
となります。
kの値を変えると(C)は点(5,-1)を中心
としてクルクル回転するようなイメージ
となることに注意して、Dを図示したもの
の上に(C)を描き込み、Dと(C)が共有点を
持ち、かつこの直線の傾きが最大、最小
となるような位置を考えましょう。

(2)
y=x^2 (A)
y=m(x+2) (B)
とします。
前半)
(A)(B)の交点のx座標について
x^2=m(x+2)
∴x^2-mx-2m=0 (C)
よって(C)をxの二次方程式と
見たときの解の判別式をDと
すると
D=m^2+8m＞0
これを解いて
m＜-8,0＜m
後半)
点A,Bのx座標をα、βとすると
α、βは(C)の解ですので
解と係数の関係により
α+β=m (E)
αβ=-2m (F)
一方、線分ABの中点の座標を
(X,Y)
とすると
Y=m(X+2) (G)
X=(α+β)/2 (H)
(E)(H)より
m=2X (H)'
これを(G)に代入して
Y=2X^2+4X
一方、(H)'と前半の結果から
2X＜-8,0＜2X
∴X＜-4,0＜X
よって求める軌跡は
放物線 y=2x^2+4x(x＜-4,0＜x)
No.39226 - 2016/09/28(Wed) 17:15:28
☆ Re: / X
(1)の参考図をアップしておきます。
但し、領域DはDの文字だけで、ハッチングは
されていないので注意して下さい。
図において、
赤い円と直線はDの境界線
赤い点はこれら境界線の交点
となっています。
No.39227 - 2016/09/28(Wed) 17:40:36
☆ Re: / 名森
こんなに丁寧にありがとうございます!!とても分かりやすいです!!
No.39232 - 2016/09/28(Wed) 18:52:03