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記事No.39244に関するスレッドです
★ 大学1年 偏微分 / さくら
連投すみません
また偏微分の問題です

私はZxxとZyyを素直に求めてイコール0を示そうとしたのですが、
ZxとZyをそれぞれ求めてそこから先の計算がわからなくなってしまいました…

指針が違ったのでしょうか？
それとも、ただ前の質問のように計算力不足でしょうか？

どなたか教えてください
よろしくお願いします
No.39244 - 2016/09/28(Wed) 22:17:04
☆ Re: 大学1年 偏微分 / IT
Zx は、あってますが、
Zy は、まちがってます。再度途中式を確認してください。
No.39251 - 2016/09/28(Wed) 22:40:07
☆ Re: 大学1年 偏微分 / angel
Zy=-2xy/(x^2+y^2)^2 ですね。

計算でラクをするなら、R=x^2+y^2 と置いてあげるのが良いです。
そうすると、

　Rx=2x, Ry=2y

そして、分数関数の微分 ∂(f/g)/∂t は、分数関数ではなく、∂(f・g^(-1))/∂t という積の微分として見るのです。

そうすると、

　∂(R^(-1))/∂x = -Rx・R^(-2) = -2xR^(-2)
　∂(R^(-2))/∂x = -2Rx・R^(-3) = -4xR^(-3)

のようにできます。

さて、それで Z の偏微分を試してみると、

　Zx = ∂(x・R^(-1))/∂x = R^(-1) - x・2xR^(-2) = R^(-1)-2x^2・R^(-2)
　Zy = ∂(x・R^(-1))/∂y = x・(-2yR^(-2)) = -2xy・R^(-2)

もう一段解も同じように。積の微分で。
No.39253 - 2016/09/28(Wed) 22:41:10
☆ Re: 大学1年 偏微分 / さくら
ITさん、angelさん、回答ありがとうございます
Zx,Zyは理解しました

その後のZxx,Zyyをangelさんのように解いてみたのですが
うまく計算できませんでした…
もう一度やり直してみますが、どこで間違えたのか気付ける自信がないので
お手数ですが間違っているところを見つけたら教えていただきたいです
No.39257 - 2016/09/28(Wed) 23:26:51
☆ Re: 大学1年 偏微分 / angel
えーと、R というのを置いたのにはですね。計算の最後の最後まで、R という形を崩さない ( の方が、結果的に計算が楽になる )、という意図もあるのですよ。
欲しいのはあくまで Zxx+Zyy ただ一つですから。

一応、私のやった計算を載せますので、ご自身の計算と比較してみてください。

---
R = x^2+y^2

Rx = 2x, Ry = 2y

∂(R^(-1))/∂x = -Rx・R^(-2) = -2x・R^(-2)
∂(R^(-2))/∂x = -2Rx・R^(-3) = -4x・R^(-3)
∂(R^(-1))/∂y = -Ry・R^(-2) = -2y・R^(-2)
∂(R^(-2))/∂y = -2Ry・R^(-3) = -4y・R^(-3)

Z = x・R^(-1)

Zx
= R^(-1) + x・∂(R^(-1))/∂x
= R^(-1) - 2x^2・R^(-2)

Zxx
= ∂(R^(-1))/∂x - 4x・R^(-2) - 2x^2・∂(R^(-2))/∂x
= -2x・R^(-2) - 4x・R^(-2) - 2x^2・(-4x・R^(-3))
= -6x・R^(-2) + 8x^3・R^(-3)

Zy
= x・∂(R^(-1))/∂y
= -2xy・R^(-2)

Zyy
= -2x・R^(-2) - 2xy・∂(R^(-2))/∂y
= -2x・R^(-2) - 2xy・(-4y・R^(-3))
= -2x・R^(-2) + 8xy^2・R^(-3)

Zxx+Zyy
= -8x・R^(-2) + 8x^3・R^(-3) + 8xy^2・R^(-3)
= 8x・R^(-3)・( -R + x^2 + y^2 )
= 0
No.39261 - 2016/09/29(Thu) 00:01:10
☆ Re: 大学1年 偏微分 / さくら
丁寧にありがとうございます!!
すごくわかりやすかったです
No.39278 - 2016/09/29(Thu) 10:32:09