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記事No.39318に関するスレッドです
★ (No Subject) / ゆい
緑線部のcosπ/nの変形（sin^2+cos^2=1を利用しているっぽいのは分かるのですが、sinの出し方が分かりません）と、赤線部の√内の計算が分かりません。
青線部は今、理解できたので大丈夫です。
よろしくお願いします。
No.39314 - 2016/10/02(Sun) 00:07:13
☆ Re: / ゆい
続きです
No.39315 - 2016/10/02(Sun) 00:07:38
☆ Re: / ゆい
一応問題です
No.39316 - 2016/10/02(Sun) 00:08:02
☆ Re: / angel
緑の部分は cos の倍角

　cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2=1-2(sinθ)^2

です。今回は、その θ=π/2n の時のもの、と見てください。

赤線部分に関しては、添付の数式のような変形を行っています。
No.39318 - 2016/10/02(Sun) 01:11:21
☆ Re: / noname
まずは緑線部における疑問に関してですが，cos(π/n)の1-2sin^2(π/(2n))への変形については2倍角の公式が用いられています．この変形を丁寧に書くと，

cos(π/n)
＝cos(2・π/(2n))
＝1-2sin^2(π/(2n))

となります．次に，赤線部における疑問に関してですが，lim_[θ→0]sinθ/θ＝1の極限を利用するために赤線部にある様な変形がなされています．つまり，sin^2(π/(2n))の部分をsin^2(π/(2n))/(π/(2n))^2の形にしたいわけですが，この式は

sin^2(π/(2n))/(π/(2n))^2
＝4n^2/π^2・sin^2(π/(2n))

となるため，そのまま書きかえようとすると1/π^2という余分なものがくっついてきてしまいます．そういったことが起こらないようにするために1/π^2の逆数のπ^2が変形後の式の中に書かれているのです．今言ったことを数式のみで説明するならば，

4n^2(1+1/n)sin^2(π/(2n))
＝4n^2/π^2・π^2・(1+1/n)sin^2(π/(2n))
＝π^2(1+1/n)・4n^2/π^2・sin^2(π/(2n))
＝π^2(1+1/n)・sin^2(π/(2n))/(π/(2n))^2

ということをしているということです．
No.39319 - 2016/10/02(Sun) 01:18:15
☆ Re: / noname
本問は，2007年度に東大の(理系)入試問題で第2問として出題されたものですね．問題を一言で言ってしまえば，「対数螺旋(等角螺旋)r＝e^{θ/π}(0≦θ≦π)の長さを，その近似である折れ線の長さの極限で求めよ」ということです．もし曲線の長さの公式を知っていれば，この曲線上の点(x,y)を(e^{θ/π}cosθ,e^{θ/π}sinθ)と表した後に，

∫_[0,π]√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ
＝√(1+1/π^2)∫_[0,π]e^{θ/π}dθ
＝(e-1)√(π^2+1)

の様に求めることが出来ます．
No.39321 - 2016/10/02(Sun) 01:36:53
☆ Re: / noname
>「対数螺旋(等角螺旋)r＝e^{θ/π}(0≦θ≦π)の長さを，その近似である折れ線の長さの極限で求めよ」

と申しましたが，本問では区分求積法による図形の面積計算と似たようなことを曲線の求長において行っているということです．
No.39323 - 2016/10/02(Sun) 03:37:41
☆ Re: / ゆい
返事遅れてすみません、とても詳しく説明してくださってありがとうございます…！
分かりやすくて感動しました！
問題集に東大って書いてあるだけでビビっちゃいます笑
No.39346 - 2016/10/03(Mon) 02:04:53